6374. Kombinacije i kombinacije sa ponavljanjem

Mora biti $x\le13$ i $x+2\ge4 ,$ tj. $2\le x\le13 .$ Leva strana je za $x\le6$ rastuća, a zatim opada (simetrija $\binom{13}x=\binom{13}{13-x}$ ), dok desna stalno raste, pa se nejednakost može ispuniti samo za veće $x .$ Za $2\le x\le7$ je $5\binom{13}x\ge5\cdot78=390 ,$ a $\binom{x+2}4\le\binom94=126 ,$ pa ne važi.

Proveravamo preostale vrednosti $x=8,\ldots,13 :$

\begin{aligned}x=8&:\ 5\binom{13}{8}=6435,\quad\binom{10}4=210\\x=9&:\ 5\binom{13}{9}=3575,\quad\binom{11}4=330\\x=10&:\ 5\binom{13}{10}=1430,\quad\binom{12}4=495\\x=11&:\ 5\binom{13}{11}=390,\quad\binom{13}4=715\\x=12&:\ 5\binom{13}{12}=65,\quad\binom{14}4=1001\\x=13&:\ 5\binom{13}{13}=5,\quad\binom{15}4=1365\end{aligned}

Nejednakost važi za $x=11,12,13$ ( $390<1001 ,$ $65<1365 ,$ $5<1820$ ), a ne važi za $x=8,9,10 .$

Dakle, $x\in\{11,12,13\} .$

Započni učenje

Privatni časovi

503.g

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci