6346. Kombinacije i kombinacije sa ponavljanjem

Definicija: za $n\in\mathbb{N} ,$ $k\in\mathbb{N}\cup\{0\} ,$ $k\le n$ je $\binom nk=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}$ („ $n$ nad $k$ ”). Posle skraćivanja sa $(n-k)!$ zgodniji oblik je $\binom nk=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}$ ( $k$ činilaca u brojiocu); npr. $\binom73=\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}=35 .$ Da bi $\binom x3$ bilo definisano i različito od nule, mora biti $x\ge3 .$ Raspisujemo:

\binom{x+1}2=\frac{(x+1)x}{2},\qquad\binom x3=\frac{x(x-1)(x-2)}{6}

Količnik (deljenje razlomkom je množenje recipročnom vrednošću, a $x$ se skraćuje):

\frac{(x+1)x}{2}\cdot\frac{6}{x(x-1)(x-2)}=\frac{3(x+1)}{(x-1)(x-2)}=\frac45

Unakrsno množimo i sređujemo:

15(x+1)=4(x^2-3x+2)\quad\Longleftrightarrow\quad4x^2-27x-7=0

Diskriminanta je $729+112=841=29^2 ,$ pa je $x_{1,2}=\frac{27\pm29}{8} ,$ tj. $x=7$ ili $x=-\frac14 .$ Uslov $x\ge3$ ispunjava samo $x=7 .$ Provera: $\binom82:\binom73=28:35=4:5 .$

Dakle, $x=7 .$

Započni učenje

Privatni časovi

487.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci