5778. Ispitivanje toka funkcije

Iz gradiva: ako funkcija $f$ ima u tački $c$ lokalni ekstremum i diferencijabilna je u toj tački, tada je $f'(c)=0 .$ Ako je još $f''(x_0)<0 ,$ u $x_0$ je strogi lokalni maksimum, a za $f''(x_0)>0$ strogi lokalni minimum.

Funkcija je definisana za $x>0 .$ Prvi izvod:

f'(x)=\frac ax+2bx+1

Ekstremumi u $x=1$ i $x=2$ traže $f'(1)=0$ i $f'(2)=0 :$

a+2b+1=0, \qquad \frac a2+4b+1=0

Iz prve jednačine $a=-2b-1$ ; uvrštavamo u drugu:

\frac{-2b-1}2+4b+1=0 \implies 3b=-\frac12 \implies b=-\frac16,\quad a=-\frac23

Prirodu ekstremuma određujemo drugim izvodom:

f''(x)=-\frac a{x^2}+2b=\frac2{3x^2}-\frac13, \qquad f''(1)=\frac13>0, \qquad f''(2)=\frac16-\frac13=-\frac16<0

Vrednosti: $f(1)=-\frac16+1=\frac56 ,$ $f(2)=-\frac23\ln2-\frac23+2=\frac43-\frac23\ln2\approx0{,}87 .$

Dobijamo $a=-\frac23 ,$ $b=-\frac16$ ; u $x=1$ funkcija ima lokalni minimum $\frac56 ,$ a u $x=2$ lokalni maksimum $\frac43-\frac23\ln2 .$

Započni učenje

Online časovi

234.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci