233.ž

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda. Iz gradiva: ako $f'(x)$ menja znak kada $x$ prolazi kroz $x_0 ,$ tada je $x_0$ tačka strogog lokalnog ekstrema: prelaz sa $-$ na $+$ daje minimum, a sa $+$ na $-$ maksimum.

Funkcija je definisana za svaki realan broj. Oblast definisanosti je $D=\mathbb{R} .$

Prvi izvod je jednak nuli ili ne postoji u tačkama $x=\frac{1}{3} .$ One, zajedno sa tačkama prekida, dele oblast definisanosti na intervale na kojima izvod ima stalan znak.

U tački $x=\frac{1}{3}$ izvod menja znak sa $+$ na $- ,$ pa je to lokalni maksimum: $f(\frac{1}{3})=\frac{1}{3 e}\approx0{,}123 .$

Dakle, funkcija raste na $(-\infty,\frac{1}{3}) ,$ a opada na $(\frac{1}{3},+\infty)$; lokalni maksimum je u tački $x=\frac{1}{3} .$