5267. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ ima graničnu vrednost $b$ u tački $x_0 ,$ što pišemo $\lim_{x\to x_0}f(x)=b ,$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da za svako $x$ iz oblasti definisanosti za koje je $0<|x-x_0|<\delta$ važi $|f(x)-b|<\varepsilon .$ Jednostavno rečeno: vrednosti $f(x)$ su proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno blizu broja $x_0 .$ Uslov $0<|x-x_0|$ znači da je $x\neq x_0 :$ vrednost funkcije u samoj tački $x_0$ nije bitna, funkcija tamo ne mora ni biti definisana.

Uvrštavanjem $x=0$ dobijamo $\frac00 .$ Iz osnovnog identiteta $\sin^2x+\cos^2x=1$ je $\sin^2x=1-\cos^2x=(1-\cos x)(1+\cos x)$ (razlika kvadrata):

\frac{\sin^2x}{1-\cos x}=\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{1-\cos x}=1+\cos x

Skratili smo $1-\cos x ,$ koje za $x$ blizu nule (a $x\neq0$ ) nije nula. Uvrštavamo $x=0 :$

\lim_{x\to0}(1+\cos x)=1+1=2

Provera brojevima, blizu tačke $0$ sa obe strane:

\begin{gathered}x=-0{,}001:\ f(x)\approx2 \\ x=0{,}001:\ f(x)\approx2\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to0}\frac{\sin^2x}{1-\cos x}=2 .$

Započni učenje

Online časovi

125.l

Beleške