117.a
Tekst zadatka namerno ne prikazujemo jer želimo da podržimo izdavača Krugove zbirke. Možeš pronaći tekst zadatka u zbirci.
Koliko ima desetocifrenih brojeva deljivih sa 25, kod kojih se cifre ne ponavljaju, ne počinju cifrom 0, a cifra stotina im je: 0 ili 5?
Da bi broj bio deljiv sa 25, njegov dvocifreni završetak (poslednje dve cifre) mora biti deljiv sa 25. Mogući završeci su 00, 25, 50 ili 75.
Pošto se cifre u broju ne smeju ponavljati, opcija 00 otpada. Dakle, broj se mora završavati na 25, 50 ili 75.
Prema uslovu zadatka, cifra stotina mora biti 0 ili 5. Razmotrićemo sve moguće kombinacije za poslednje tri cifre (stotine, desetice, jedinice).
Ako se broj završava sa 25, cifra stotina može biti 0 (dobijamo završetak 025) ili 5 (dobijamo 525). Završetak 525 nije moguć jer se cifra 5 ponavlja.
Ako se broj završava sa 50, cifra stotina može biti 0 (dobijamo 050) ili 5 (dobijamo 550). Obe opcije su nemoguće jer se cifre 0, odnosno 5, ponavljaju.
Ako se broj završava sa 75, cifra stotina može biti 0 (dobijamo 075) ili 5 (dobijamo 575). Završetak 575 nije moguć jer se cifra 5 ponavlja.
Zaključujemo da su jedini mogući završeci od tri cifre 025 i 075.
Primetimo da je u oba slučaja cifra 0 već iskorišćena na mestu stotina. Zbog toga prva cifra sigurno neće biti 0, pa je uslov da broj ne počinje nulom automatski ispunjen.
Desetocifreni broj u kom se cifre ne ponavljaju mora sadržati svih 10 cifara (od 0 do 9). Pošto smo fiksirali poslednje 3 cifre, preostaje nam 7 slobodnih mesta na početku broja i 7 neiskorišćenih cifara.
Broj načina da rasporedimo preostalih 7 cifara na 7 mesta jednak je broju permutacija od 7 elemenata, što računamo kao faktorijel broja 7.
Računamo vrednost za
Pošto imamo dva moguća završetka (025 i 075), a za svaki od njih imamo po 5040 načina da rasporedimo preostale cifre, ukupan broj takvih brojeva dobijamo primenom pravila zbira.