117.b
Tekst zadatka namerno ne prikazujemo jer želimo da podržimo izdavača Krugove zbirke. Možeš pronaći tekst zadatka u zbirci.
Koliko ima desetocifrenih brojeva deljivih sa 25, kod kojih se cifre ne ponavljaju, ne počinju cifrom 0, a cifra stotina im je 2 ili 3?
Da bi broj bio deljiv sa 25, njegove poslednje dve cifre moraju biti 00, 25, 50 ili 75. Kako se cifre u broju ne smeju ponavljati, završetak 00 nije moguć. Dakle, broj se mora završavati na 25, 50 ili 75.
Pored toga, uslov zadatka je da cifra stotina mora biti 2 ili 3. Razmotrićemo svaki od mogućih završetaka (poslednje dve cifre) i odrediti koje su moguće kombinacije za poslednje tri cifre (stotine, desetice, jedinice).
Slučaj 1: Broj se završava na 25. Cifra stotina mora biti 2 ili 3. Međutim, cifra 2 je već iskorišćena na mestu desetica, pa cifra stotina mora biti 3. Poslednje tri cifre su fiksirane kao 325.
Računamo broj mogućnosti za ostalih 7 pozicija. Preostalo je 7 neiskorišćenih cifara, među kojima je i nula. Prva cifra ne sme biti 0, pa za nju imamo 6 mogućnosti. Preostalih 6 pozicija možemo popuniti na načina. Broj brojeva u ovom slučaju je:
Slučaj 2: Broj se završava na 50. Cifra stotina može biti 2 ili 3, jer nijedna od njih nije iskorišćena. Poslednje tri cifre mogu biti 250 ili 350.
Za svaki od ova dva podslučaja (250 i 350) preostalo je 7 cifara. Pošto je nula već iskorišćena na mestu jedinica, prva cifra sigurno neće biti nula. Zato preostalih 7 cifara možemo rasporediti na preostalih 7 pozicija na načina. Ukupan broj brojeva za oba podslučaja je:
Slučaj 3: Broj se završava na 75. Cifra stotina može biti 2 ili 3, jer nijedna od njih nije iskorišćena. Poslednje tri cifre mogu biti 275 ili 375.
Kao i u prvom slučaju, za svaki od ova dva podslučaja preostalo je 7 cifara, uključujući nulu. Prva cifra ne sme biti 0 (6 mogućnosti), a preostalih 6 pozicija popunjavamo na načina. Ukupan broj brojeva za oba podslučaja je:
Prema pravilu zbira, ukupan broj traženih desetocifrenih brojeva dobijamo sabiranjem rezultata iz sva tri slučaja:
Znamo da je Možemo izvući kao zajednički činilac i izračunati konačan rezultat, znajući da je