Dokaz: m na 5 minus m je deljivo sa 5

Prvo ćemo faktorisati dati izraz izvlačenjem zajedničkog činioca $m$ ispred zagrade.

m^5 - m = m(m^4 - 1)

Zatim primenjujemo formulu za razliku kvadrata na izraz u zagradi.

m(m^4 - 1) = m(m^2 - 1)(m^2 + 1)

Još jednom primenjujemo razliku kvadrata na izraz $m^2 - 1$ i dobijamo konačnu faktorizaciju.

m(m^2 - 1)(m^2 + 1) = (m - 1)m(m + 1)(m^2 + 1)

Prema teoremi o deljenju sa ostatkom, svaki ceo broj $m$ se pri deljenju sa 5 može zapisati u obliku $m = 5q + r ,$ gde je $q$ količnik, a $r \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ostatak. Analiziraćemo sve moguće slučajeve za ostatak $r .$

Slučaj 1: Ako je $r = 0 ,$ tada je $m = 5q .$ U ovom slučaju, sam činilac $m$ je deljiv sa 5, pa je i ceo proizvod deljiv sa 5.

m = 5q \implies 5 \mid m

Slučaj 2: Ako je $r = 1 ,$ tada je $m = 5q + 1 .$ Posmatramo činilac $m - 1 .$

m - 1 = (5q + 1) - 1 = 5q \implies 5 \mid (m - 1)

Slučaj 3: Ako je $r = 4 ,$ tada je $m = 5q + 4 .$ Posmatramo činilac $m + 1 .$

m + 1 = (5q + 4) + 1 = 5q + 5 = 5(q + 1) \implies 5 \mid (m + 1)

Slučaj 4: Ako je $r = 2 ,$ tada je $m = 5q + 2 .$ Zamenićemo ovo u činilac $m^2 + 1 .$

m^2 + 1 = (5q + 2)^2 + 1 = 25q^2 + 20q + 4 + 1

Sređivanjem izraza dobijamo da je i on deljiv sa 5.

25q^2 + 20q + 5 = 5(5q^2 + 4q + 1) \implies 5 \mid (m^2 + 1)

Slučaj 5: Ako je $r = 3 ,$ tada je $m = 5q + 3 .$ Ponovo proveravamo činilac $m^2 + 1 .$

m^2 + 1 = (5q + 3)^2 + 1 = 25q^2 + 30q + 9 + 1

Sređivanjem dobijamo izraz koji je takođe deljiv sa 5.

25q^2 + 30q + 10 = 5(5q^2 + 6q + 2) \implies 5 \mid (m^2 + 1)

Pošto je u svakom od 5 mogućih slučajeva bar jedan od činilaca proizvoda $(m - 1)m(m + 1)(m^2 + 1)$ deljiv sa 5, zaključujemo da je izraz uvek deljiv sa 5 za svaki ceo broj $m .$

5 \mid (m^5 - m)

Započni učenje

Online časovi

168.a

Beleške