3887.

591.i

TEKST ZADATKA

Koristeći razne metode rastaviti na činioce sledeći polinom: x5−x. x^5 - x .

REŠENJE ZADATKA

Prvi korak u rastavljanju polinoma je uočavanje zajedničkog člana. U izrazu x5−x, x^5 - x , oba člana sadrže x, x , pa ga možemo izvući ispred zagrade.

x5−x=x(x4−1)x^5 - x = x(x^4 - 1)

Sada posmatramo izraz u zagradi x4−1. x^4 - 1 . Primetićemo da je to razlika kvadrata, jer je x4=(x2)2 x^4 = (x^2)^2 i 1=12. 1 = 1^2 . Koristimo formulu a2−b2=(a−b)(a+b). a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) .

x(x4−1)=x((x2)2−12)=x(x2−1)(x2+1)x(x^4 - 1) = x((x^2)^2 - 1^2) = x(x^2 - 1)(x^2 + 1)

U dobijenom izrazu, faktor x2−1 x^2 - 1 je ponovo razlika kvadrata. Primenjujemo istu formulu još jednom.

x(x2−1)(x2+1)=x(x−1)(x+1)(x2+1)x(x^2 - 1)(x^2 + 1) = x(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)

Konačan oblik polinoma rastavljenog na činioce u skupu realnih brojeva je:

x5−x=x(x−1)(x+1)(x2+1)x^5 - x = x(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)