3887. Transformacije celih algebarskih racionalnih izraza

TEKST ZADATKA

Koristeći razne metode rastaviti na činioce sledeći polinom: $x^5 - x .$

REŠENJE ZADATKA

Prvi korak u rastavljanju polinoma je uočavanje zajedničkog člana. U izrazu $x^5 - x ,$ oba člana sadrže $x ,$ pa ga možemo izvući ispred zagrade.

x^5 - x = x(x^4 - 1)

Sada posmatramo izraz u zagradi $x^4 - 1 .$ Primetićemo da je to razlika kvadrata, jer je $x^4 = (x^2)^2$ i $1 = 1^2 .$ Koristimo formulu $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) .$

x(x^4 - 1) = x((x^2)^2 - 1^2) = x(x^2 - 1)(x^2 + 1)

U dobijenom izrazu, faktor $x^2 - 1$ je ponovo razlika kvadrata. Primenjujemo istu formulu još jednom.

x(x^2 - 1)(x^2 + 1) = x(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)

Konačan oblik polinoma rastavljenog na činioce u skupu realnih brojeva je:

x^5 - x = x(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)

591.i