3359. Deljivost celih brojeva

TEKST ZADATKA

Ako je $n$ prirodan broj, onda je $n^2 + n$ deljivo sa $2 .$ Dokazati.

REŠENJE ZADATKA

Prvo, rastavimo dati izraz na činioce izvlačenjem zajedničkog faktora $n$ ispred zagrade.

n^2 + n = n(n + 1)

Dobili smo proizvod dva uzastopna prirodna broja, $n$ i $n + 1 .$

Prema teoremi o deljenju sa ostatkom, svaki prirodan broj $n$ pri deljenju sa $2$ može imati ostatak $0$ ili $1 .$ Zato broj $n$ možemo zapisati u obliku $n = 2q$ (paran broj) ili $n = 2q + 1$ (neparan broj), gde je $q$ ceo broj.

Prvi slučaj: Neka je $n = 2q .$ Zamenom u naš izraz dobijamo:

n(n + 1) = 2q(2q + 1)

Pošto proizvod sadrži faktor $2 ,$ on je deljiv sa $2 .$

2 \mid 2q(2q + 1)

Drugi slučaj: Neka je $n = 2q + 1 .$ Zamenom u izraz dobijamo:

n(n + 1) = (2q + 1)(2q + 1 + 1) = (2q + 1)(2q + 2)

Iz druge zagrade možemo izvući faktor $2 .$

(2q + 1) \cdot 2(q + 1) = 2(2q + 1)(q + 1)

I u ovom slučaju proizvod sadrži faktor $2 ,$ pa je deljiv sa $2 .$

2 \mid 2(2q + 1)(q + 1)

Pošto je u oba moguća slučaja proizvod deljiv sa $2 ,$ dokazali smo da je izraz $n^2 + n$ uvek deljiv sa $2$ za svaki prirodan broj $n .$

165