Koeficijent uz a na 7 b na 8 u razvoju (a + b) na 15

TEKST ZADATKA

Odrediti koeficijent uz član $a^7b^8$ u razvoju binoma $(a+b)^{15} .$

REŠENJE ZADATKA

Odrediti opšti član binomnog razvoja po formuli: $T_{k+1}=\binom{n}{k} a^{(n-k)} b^k,$ gde je: $n=15$

T_{k+1}=\binom{15}{k} a^{15-k} b^k

Treba pronaći indeks $k$ za koji važi:

15-k = 7, \quad k=8

Odgovarajući član u razvoju binoma glasi:

T_{9}=\binom{15}{8} a^{15-8} b^8 = \binom{15}{8} a^{7} b^8

Koeficijent uz $a^7b^8$ je $\binom{15}{8}$ i računa se po formuli: $\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)! \space k!}$

\binom{15}{8} = \frac{15!}{(15-8)! \space 8!}=\frac{15!}{7!\space 8!} = \frac{15\cdot14\cdot\ 13 \cdot12\cdot11\cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}{7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\cdot8!} =\frac{15\cdot14\cdot\ 13 \cdot12\cdot11\cdot 10 \cdot 9}{7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=6435

5. Binomna formula