6514. Bernulijeva šema

Bernulijeva šema: ako se u svakom od $n$ nezavisnih eksperimenata događaj $A$ realizuje sa verovatnoćom $p ,$ verovatnoća da se $A$ realizuje tačno $k$ puta je $P\{S_n=k\}=\binom nkp^k(1-p)^{n-k} .$ (Jedan konkretan raspored $k$ uspeha i $n-k$ neuspeha ima verovatnoću $p^k(1-p)^{n-k} ,$ a mesta za uspehe biramo na $\binom nk$ načina.) Ovde je $n=10 ,$ $p=\frac23 ,$ $1-p=\frac13 ,$ pa je $P\{S_{10}=k\}=\binom{10}k\frac{2^k}{3^{10}} .$ Da bismo našli najverovatnije $k ,$ upoređujemo susedne verovatnoće:

\frac{P\{S_{10}=k+1\}}{P\{S_{10}=k\}}=\frac{\binom{10}{k+1}}{\binom{10}k}\cdot\frac{p}{1-p}=\frac{10-k}{k+1}\cdot2

Količnik je veći od $1$ kada je $2(10-k)>k+1 ,$ tj. $k<\frac{19}3\approx6{,}33 .$ Dakle, verovatnoće rastu do $k=7$ ( $P_6<P_7 ,$ jer je za $k=6$ količnik $\frac{8}{7}>1$ ), a zatim opadaju ( $k=7 :$ količnik $\frac{6}{8}<1$ ).

Najverovatniji broj pogodaka je $7$ ; poređenja radi i susedne vrednosti ( $3^{10}=59049$ ):

\begin{aligned}P\{S_{10}=6\}&=\frac{210\cdot64}{59049}\approx0{,}22761\\P\{S_{10}=7\}&=\frac{120\cdot128}{59049}=\frac{15360}{59049}\approx0{,}26012\\P\{S_{10}=8\}&=\frac{45\cdot256}{59049}\approx0{,}19509\end{aligned}

Dakle, najverovatniji broj pogodaka je $7 ,$ a njegova verovatnoća je $\frac{15360}{59049}\approx0{,}2601 .$

Započni učenje

Privatni časovi

649

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci