Aritmetički niz: ako je Sm = Sn, dokaži Sm+n = 0

TEKST ZADATKA

Ako za aritmetički niz i neke prirodne brojeve $m$ i $n$ $(m\not = n)$ važi $S_m=S_n,$ dokazati da je $S_{m+n}=0.$

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za zbir airtmetičkog niza:

S_m=\frac{m}{2}(a_1+a_m)

Primeniti formulu za opšti član aritmetičkog niza:

S_m=\frac{m}{2}(2a_1+(m-1)d)

Na isti način dobija se:

S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)

S_{m+n}=\frac{m+n}{2}(2a_1+(m+n-1)d)

Iskoristiti jednakost $S_m=S_n$ iz uslova zadatka:

\frac{m}{2}(2a_1+(m-1)d)=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)

Srediti izraz:

\frac{m}{2}(2a_1+(m-1)d)-\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)=0

\frac{2am+m(m-1)d-2an-n(n-1)d}{2}=0

2a(m-n)+d(m(m-1)-n(n-1))=0

2a(m-n)+d(m^2-m-n^2+n)=0

2a(m-n)+d((m-n)(m+n)-(m-n)=0

2a(m-n)+d(m-n)(m+n-1)=0

(m-n)(2a+d(m+n-1)=0

Zbog pretpostavke $m\not = n$ važi da je $2a+d(m+n-1)=0$

Ako je $2a+d(m+n-1)=0$ onda važi i da je izraz $S_{m+n}=\frac{m+n}{2}(2a_1+(m+n-1)d)$ jednak nuli.

21. Aritmetički niz