341
Tekst zadatka namerno ne prikazujemo jer želimo da podržimo izdavača Krugove zbirke. Možeš pronaći tekst zadatka u zbirci.
Data je ravan i njoj paralelna prava Dokazati da postoji tačno jedna ravan koja sadrži pravu i paralelna je ravni
Neka je proizvoljna tačka prave Prema poznatoj teoremi, kroz tačku van date ravni prolazi tačno jedna ravan paralelna datoj ravni. Neka je ta jedinstvena ravan koja sadrži tačku i paralelna je ravni
Dokazaćemo da prava u celosti pripada ravni Pretpostavimo suprotno, odnosno da prava ne pripada ravni
Pošto prava sadrži tačku koja pripada ravni a pretpostavili smo da ne pripada u celosti ravni prava i ravan se seku u tačno jednoj tački, tački
Neka je proizvoljna ravan koja sadrži pravu i seče ravan Presek ravni i je neka prava
Pošto je prava paralelna ravni () i pripada ravni a ravan seče ravan po pravoj sledi da prava nema zajedničkih tačaka sa pravom Kako obe pripadaju istoj ravni one su paralelne.
Ravan seče i ravan po nekoj pravoj koja prolazi kroz zajedničku tačku
Kako su ravni i paralelne (), a ravan ih seče po pravama i te dve prave ne mogu imati zajedničkih tačaka. Pošto obe pripadaju ravni one moraju biti paralelne.
U ravni sada imamo dve prave, i koje prolaze kroz istu tačku i obe su paralelne pravoj
Prema aksiomi paralelnosti, za svaku pravu i svaku tačku van nje postoji tačno jedna prava koja sadrži tu tačku i paralelna je datoj pravoj. Zbog toga prave i moraju biti ista prava.
Pošto prava po definiciji pripada ravni a pokazali smo da je zaključujemo da i prava pripada ravni Time smo došli do kontradikcije sa pretpostavkom da prava ne pripada ravni
Ovim smo dokazali da ravan sadrži pravu i paralelna je ravni Jedinstvenost ravni direktno sledi iz jedinstvenosti ravni koja prolazi kroz datu tačku (u ovom slučaju ) i paralelna je datoj ravni.