186.

Trigonometrijski limes

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost:

lim⁡x→0cos⁡ax−cos⁡bxsin⁡2x\lim_{{x} \to {0}} \frac {\cos{ax}-\cos{bx}} {\sin^2{x}}
REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za transformaciju razlike kosinusa: cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2\cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin{\frac {\alpha+\beta} 2}\sin{\frac {\alpha-\beta} 2}

lim⁡x→0−2sin⁡ax+bx2sin⁡ax−bx2sin⁡2x\lim_{{x} \to {0}} \frac {-2\sin{\frac {ax+bx} 2}\sin{\frac {ax-bx} 2}} {\sin^2{x}}

Izvući zajednički činilac ispred zagrade u sinusu:

lim⁡x→0−2sin⁡x(a+b)2sin⁡x(a−b)2sin⁡2x\lim_{{x} \to {0}} \frac {-2\sin{\frac {x(a+b)} 2}\sin{\frac {x(a-b)} 2}} {\sin^2{x}}

Uvesti minus ispred izraza u brojiocu u sinus kako bi se zamenio redosled konstanti:

lim⁡x→02sin⁡x(a+b)2sin⁡x(b−a)2sin⁡2x\lim_{{x} \to {0}} \frac {2\sin{\frac {x(a+b)} 2}\sin{\frac {x(b-a)} 2}} {\sin^2{x}}

Raščlaniti izraz:

2lim⁡x→0sin⁡x(a+b)2∗lim⁡x→0sin⁡x(b−a)2∗lim⁡x→01sin⁡2x2\lim_{{x} \to {0}} {\sin{\frac {x(a+b)} 2}}* \lim_{{x} \to {0}}{\sin{\frac {x(b-a)} 2}}*\lim_{{x} \to {0}}{\frac 1 {\sin^2{x}}}
DODATNO OBJAŠNJENJE

Dodati razlomke iz sinusa u odgovarajući imenilac, kako bi se mogao primeniti tablični limes: lim⁡x→0sin⁡xx=1. \lim_{{x} \to {0}}\frac {\sin{x}} {x}=1. Da bi izraz ostao nepromenjen, dodati iste vrednosti u brojilac.

2lim⁡x→0sin⁡x(a+b)2x(a+b)2∗lim⁡x→0sin⁡x(b−a)2x(b−a)2∗lim⁡x→0x(a+b)2∗x(b−a)2sin⁡2x2\lim_{{x} \to {0}} {\frac {\sin{\frac {x(a+b)} 2}} {\frac {x(a+b)} 2}}* \lim_{{x} \to {0}}{\frac {\sin{\frac {x(b-a)} 2}} {\frac {x(b-a)} 2}}*\lim_{{x} \to {0}}{\frac {\frac {x(a+b)} 2*\frac {x(b-a)} 2} {\sin^2{x}}}

Primeniti tablični limes: lim⁡x→0sin⁡xx=1 \lim_{{x} \to {0}}\frac {\sin{x}} {x}=1

2∗1∗1∗lim⁡x→0x(a+b)2∗x(b−a)2sin⁡2x2*1* 1*\lim_{{x} \to {0}}{\frac {\frac {x(a+b)} 2*\frac {x(b-a)} 2} {\sin^2{x}}}
DODATNO OBJAŠNJENJE

Raščlaniti izraz:

2lim⁡x→0x(a+b)2sin⁡x∗lim⁡x→0x(b−a)2sin⁡x2\lim_{{x} \to {0}}{\frac {\frac {x(a+b)} 2} {\sin{x}}}*\lim_{{x} \to {0}} {{\frac{\frac {x(b-a)} 2} {\sin{x}}}}
DODATNO OBJAŠNJENJE

Osloboditi se dvojnog razlomka:

2lim⁡x→0x(a+b)2sin⁡x∗lim⁡x→0x(b−a)2sin⁡x2\lim_{{x} \to {0}}{\frac { {x(a+b)}} {2\sin{x}}}*\lim_{{x} \to {0}} {{\frac{{x(b-a)}} {2\sin{x}}}}

Izvući konstante ispred limesa:

2∗a+b2∗b−a2∗lim⁡x→0xsin⁡x∗lim⁡x→0xsin⁡x2*\frac {a+b} 2*\frac {b-a} 2*\lim_{{x} \to {0}} {\frac x {\sin{x}}}*\lim_{{x} \to {0}} {\frac x {\sin{x}}}

Primeniti tablični limes: lim⁡x→0sin⁡xx=1 \lim_{{x} \to {0}}\frac {\sin{x}} {x}=1

2∗b2−a24∗1∗1=b2−a222*\frac {b^2-a^2} 4*1*1=\frac {b^2-a^2} 2

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti