185.

Trigonometrijski limes

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost:

lim⁡x→0cos⁡ax−cos⁡bxx2\lim_{{x} \to {0}} \frac {\cos{ax}-\cos{bx}} {x^2}
REŠENJE ZADATKA

Prvo pokušati zameniti x=0x=0 i konstatovati neodređenost 00.\frac{0}{0}.

1−10=00\frac {1-1} 0=\frac 0 0

Primeniti formulu za transformaciju razlike kosinusa: cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2\cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin{\frac {\alpha+\beta} 2}\sin{\frac {\alpha-\beta} 2}

lim⁡x→0−2sin⁡ax+bx2sin⁡ax−bx2x2\lim_{{x} \to {0}} \frac {-2\sin{\frac {ax+bx} 2}\sin{\frac {ax-bx} 2}} {x^2}

Izvući zajednički činilac ispred zagrade u sinusu:

lim⁡x→0−2sin⁡x(a+b)2sin⁡x(a−b)2x2\lim_{{x} \to {0}} \frac {-2\sin{\frac {x(a+b)} 2}\sin{\frac {x(a-b)} 2}} {x^2}

Uvesti minus ispred izraza u brojiocu u sinus kako bi se zamenio redosled konstanti:

lim⁡x→02sin⁡x(a+b)2sin⁡x(b−a)2x2\lim_{{x} \to {0}} \frac {2\sin{\frac {x(a+b)} 2}\sin{\frac {x(b-a)} 2}} {x^2}

Raščlaniti izraz:

2lim⁡x→0sin⁡x(a+b)2x∗lim⁡x→0sin⁡x(b−a)2x2\lim_{{x} \to {0}} {\frac {\sin{\frac {x(a+b)} 2}} x}*\lim_{{x} \to {0}} {\frac {\sin{\frac {x(b-a)} 2}} x}
DODATNO OBJAŠNJENJE

Dodati razlomak iz sinusa u imenilac, a kako bi izraz ostao nepromenjen, dodati i njegovu recipročnu vrednost.

2lim⁡x→0sin⁡x(a+b)2x(a+b)2∗2x(a+b)∗x∗lim⁡x→0sin⁡x(b−a)2x(b−a)2∗2x(b−a)∗x2\lim_{{x} \to {0}} {\frac {\sin{\frac {x(a+b)} 2}} {\frac {x(a+b)} 2 *\frac 2 {x(a+b)}*x}}*\lim_{{x} \to {0}} {\frac {\sin{\frac {x(b-a)} 2}} {\frac {x(b-a)} 2*\frac 2 {x(b-a)}*x}}

Srediti imenioce:

2lim⁡x→0sin⁡x(a+b)2x(a+b)2∗2x(a+b)∗x∗lim⁡x→0sin⁡x(b−a)2x(b−a)2∗2x(b−a)∗x=2lim⁡x→0sin⁡x(a+b)2x(a+b)2∗2a+b∗lim⁡x→0sin⁡x(b−a)2x(b−a)2∗2b−a2\lim_{{x} \to {0}} {\frac {\sin{\frac {x(a+b)} 2}} {\frac {x(a+b)} 2 *\frac 2 {\cancel{x}(a+b)}*\cancel{x}}}*\lim_{{x} \to {0}} {\frac {\sin{\frac {x(b-a)} 2}} {\frac {x(b-a)} 2*\frac 2 {\cancel{x}(b-a)}*\cancel{x}}} =2\lim_{{x} \to {0}} {\frac {\sin{\frac {x(a+b)} 2}} {\frac {x(a+b)} 2 *\frac 2 {a+b}}}*\lim_{{x} \to {0}} {\frac {\sin{\frac {x(b-a)} 2}} {\frac {x(b-a)} 2*\frac 2 {b-a}}}

Izvući konstante ispred limesa:

2∗a+b2∗b−a2∗lim⁡x→0sin⁡x(a+b)2x(a+b)2∗lim⁡x→0sin⁡x(b−a)2x(b−a)22*\frac {a+b} 2*\frac {b-a} 2*\lim_{{x} \to {0}} {\frac {\sin{\frac {x(a+b)} 2}} {\frac {x(a+b)} 2}}*\lim_{{x} \to {0}} {\frac {\sin{\frac {x(b-a)} 2}} {\frac {x(b-a)} 2}}

Primeniti tablični limes: lim⁡x→0sin⁡xx=1 \lim_{{x} \to {0}}\frac {\sin{x}} {x}=1

2∗a+b2∗b−a2∗1∗12*\frac {a+b} 2*\frac {b-a} 2*1*1
DODATNO OBJAŠNJENJE

Pomnožiti izraze:

2∗b2−a24=b2−a222*\frac {b^2-a^2} 4=\frac {b^2-a^2} 2

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti