836.

Trigonometrijski i eksponencijalni oblik

TEKST ZADATKA

Odrediti sve kompleksne brojeve zz za koje važi:

z2=−1+i3z^2=-1+i\sqrt3
REŠENJE ZADATKA

Zapisati broj −1+i3-1+i\sqrt3 u trigonometrijskom obliku : z=∣z∣⋅(cos⁡φ+isin⁡φ).z=|z|\cdot(\cos{\varphi}+i\sin{\varphi}).

−1+i3=2(cos⁡2π3+isin⁡2π3)-1+i\sqrt3=2\big(\cos\frac{2\pi}3+i\sin\frac{2\pi}3\big)

Zameniti −1+i3-1+i\sqrt3 saz2.z^2.

z2=2(cos⁡2π3+isin⁡2π3)z1=(2(cos⁡2π3+isin⁡2π3))12∧z2=(2(cos⁡8π3+isin⁡8π3))12z^2=2\big(\cos\frac{2\pi}3+i\sin\frac{2\pi}3\big) \\ z_1=\bigg(2\big(\cos\frac{2\pi}3+i\sin\frac{2\pi}3\big)\bigg)^{\frac12} \quad\land\quad z_2=\bigg(2\big(\cos\frac{8\pi}3+i\sin\frac{8\pi}3\big)\bigg)^{\frac12}

Primeniti formulu za stepenovanje kompleksnog broja: (r(cos⁡α+isin⁡α))n=rn(cos⁡(n⋅α)+isin⁡(n⋅α))\big(r(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})\big)^n=r^n(\cos(n\cdot\alpha)+i\sin(n\cdot\alpha))

z1=2(cos⁡(12⋅2π3)+isin⁡(12⋅2π3))∧z2=2(cos⁡(12⋅8π3)+isin⁡(12⋅8π3))z1=2(cos⁡π3+isin⁡π3)∧z2=2(cos⁡4π3+isin⁡4π3)z_1=\sqrt2\bigg(\cos\bigg(\frac12\cdot\frac{2\pi}3\bigg)+i\sin\bigg(\frac12\cdot\frac{2\pi}3\bigg)\bigg) \quad\land\quad z_2=\sqrt2\bigg(\cos\bigg(\frac12\cdot\frac{8\pi}3\bigg)+i\sin\bigg(\frac12\cdot\frac{8\pi}3\bigg)\bigg) \\ z_1=\sqrt2\bigg(\cos\frac{\pi}3+i\sin\frac{\pi}3\bigg) \quad\land\quad z_2=\sqrt2\bigg(\cos\frac{4\pi}3+i\sin\frac{4\pi}3\bigg)

Zapisati kompleksni broj u algebarskom obliku.

z1=22(1+i3)∧z2=−22(1+i3)z_1=\frac{\sqrt2}2(1+i\sqrt3) \quad\land\quad z_2=-\frac{\sqrt2}2(1+i\sqrt3)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti