Jednačina z na kvadrat = -3 + 4i

z=\sqrt[2]{-3+4i}

Zapisati broj $-3+4i$ u trigonometrijskom obliku : $z=|z|\cdot(\cos{(\text{arg}(z))}+i\sin{(\text{arg}(z))}).$

-3+4i=5(\cos{(\pi-\alpha)}+i\sin{(\pi-\alpha)}), \quad \alpha=\arctg{\frac{4}{3}}

Primeniti formulu za korenovanje kompleksnog broja: $\sqrt[n]{|z|} \cdot (\cos{\frac{\text{arg}(z)+2k\pi}{n}}+i\sin{\frac{\text{arg}(z)+2k\pi}{n}}), \quad k\in\{0, 1, ...,n-1\}$

\sqrt{5} \cdot (\cos{\frac{(\pi-\alpha)+2k\pi}{2}} + i\sin{\frac{(\pi-\alpha)+2k\pi}{2}}), \quad k\in\{0, 1\}

Za $k=0:$

z_0=\sqrt{5} \cdot (\cos{\frac{(\pi-\alpha)+2\cdot0\cdot\pi}{2}} + i\sin{\frac{(\pi-\alpha)+2\cdot0\cdot\pi}{2}}) \\ z_0=\sqrt{5} \cdot (\cos{\frac{\pi-\alpha}{2}} + i\sin{\frac{\pi-\alpha}{2}})

Za $k=1:$

z_1=\sqrt{5} \cdot (\cos{\frac{(\pi-\alpha)+2\cdot 1 \cdot\pi}{2}} + i\sin{\frac{(\pi-\alpha)+2\cdot 1 \cdot\pi}{2}}) \\ z_1=\sqrt{5} \cdot (\cos{\frac{3\pi-\alpha}{2}} + i\sin{\frac{3\pi-\alpha}{2}})

Da bi se rešenja prevela u algebarski oblik $x+iy$ potrebno je odrediti $\cos{\frac{\pi-\alpha}{2}},$ $\sin{\frac{\pi-\alpha}{2}},$ $\cos{\frac{3\pi-\alpha}{2}}$ i $\sin{\frac{3\pi-\alpha}{2}}$ gde je $\alpha=\arctg{\frac{4}{3}}$

Iz $\tg{\alpha}=\frac{naspramna \ kateta}{nalegla \ kateta} = \frac{4}{3}$ mogu se odrediti naspramna i nalegla kateta pravouglog trougla.

naspramna \ kateta = 4 \\ nalegla \ kateta = 3

Primenom Pitagorine teoreme izračunati hipotenuzu pravouglog trougla.

hipotenuza=\sqrt{3^2+4^2}=5

Odrediti $\cos{\alpha}$ i $\sin{\alpha}.$

\cos{\alpha} = \frac{nalegla \ kateta}{hipotenuza} = \frac{3}{5} \\ \sin{\alpha} = \frac{naspramna \ kateta}{hipotenuza} = \frac{4}{5}

Svođenjem ugla $\pi-\alpha$ na prvi kvadrant dobija se:

\cos{(\pi-\alpha)} = -\cos{\alpha} = -\frac{3}{5} \\ \sin{(\pi-\alpha)} = \sin{\alpha} = \frac{4}{5}

Primeniti formule za polovinu ugla za sinus i kosinus $\cos{\frac{\beta}{2}}=\sqrt{\frac{1+\cos{\beta}}{2}}$ i $\sin{\frac{\beta}{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos{\beta}}{2}}$ ako je $\beta=\pi-\alpha$

\cos{\frac{\pi-\alpha}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{3}{5}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\\ \sin{\frac{\pi-\alpha}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{3}{5}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}

Odrediti $z_0$ u algebarskom obliku.

z_0=\sqrt{5} \cdot (\cos{\frac{\pi-\alpha}{2}} + i\sin{\frac{\pi-\alpha}{2}})\\ z_0=\sqrt{5}\cdot(\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{2}{\sqrt{5}}i)\\ z_0=1+2i

Svođenjem ugla $\frac{3\pi-\alpha}{2}$ na prvi kvadrant dobija se:

\cos{\frac{3\pi-\alpha}{2}}=\cos{(\pi+\frac{\pi-\alpha}{2})}=-\cos{\frac{\pi-\alpha}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{5}}\\ \sin{\frac{3\pi-\alpha}{2}}=\sin{(\pi+\frac{\pi-\alpha}{2})}=-\sin{\frac{\pi-\alpha}{2}}=-\frac{2}{\sqrt{5}}

Odrediti $z_1$ u algebarskom obliku.

z_1=\sqrt{5} \cdot (\cos{\frac{3\pi-\alpha}{2}} + i\sin{\frac{3\pi-\alpha}{2}}) \\ z_1=\sqrt{5}\cdot(-\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{2}{\sqrt{5}}i)\\ z_1=-1-2i

Rešenja jednačine su:

1+2i \quad \text{i} \quad -1-2i

Započni učenje

Online časovi

$z^2=-3+4i$

Beleške

z2=−3+4iz^2=-3+4iz2=−3+4i

$z^2=-3+4i$