837.

Trigonometrijski i eksponencijalni oblik

TEKST ZADATKA

Odrediti sve kompleksne brojeve zz za koje važi:

z2=−3+4iz^2=-3+4i
REŠENJE ZADATKA

Zapisati broj −3+4i-3+4i u trigonometrijskom obliku : z=∣z∣⋅(cos⁡φ+isin⁡φ).z=|z|\cdot(\cos{\varphi}+i\sin{\varphi}).

−3+4i=5(cos⁡φ+isin⁡φ),tg⁡φ=−43-3+4i=5(\cos\varphi+i\sin\varphi), \quad \tg\varphi=-\frac43

Zameniti −3+4i-3+4i saz2.z^2.

z2=5(cos⁡φ+isin⁡φ)z=(5(cos⁡φ+isin⁡φ))12z^2=5(\cos\varphi+i\sin\varphi) \\ z=\big(5(\cos\varphi+i\sin\varphi)\big)^{\frac12}

Primeniti formulu za stepenovanje kompleksnog broja: (r(cos⁡α+isin⁡α))n=rn(cos⁡(n⋅α)+isin⁡(n⋅α))\big(r(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})\big)^n=r^n(\cos(n\cdot\alpha)+i\sin(n\cdot\alpha))

z=5 (cos⁡φ2+isin⁡φ2)z=\sqrt5\ \big(\cos\frac{\varphi}2+i\sin\frac{\varphi}2\big)

Kako se ugao φ\varphi nalazi u drugom kvadrantu, važi:

π2<φ<π  ⟹  π4<φ2<π2\frac{\pi}2<\varphi<\pi \implies \frac{\pi}4<\frac{\varphi}2<\frac{\pi}2

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti