824. Trigonometrijski i eksponencijalni oblik kompleksnog broja

Rešiti jednačinu:

z^5-1-i\sqrt3=0

Izraziti $z.$

z^5=1+i\sqrt3 \\ z=\sqrt[5]{1+i\sqrt3}

Upoređivanjem sa opštim oblikom kompleksnog broja $z=x+iy$ odrediti $x$ i $y$ kompleksnog broja $1+i\sqrt3.$

x=1 \\ y=\sqrt3

Odrediti moduo broja $1+i\sqrt3$ po formuli $|z|=\sqrt{x^2+y^2}.$

|1+i\sqrt3|=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=2

Ugao $\varphi$ odrediti po formuli $\tg{\varphi=|\frac{y}{x}|}.$

\tg{\varphi} = |\frac{\sqrt3}1|=\sqrt3 \implies \varphi=\frac{\pi}{3}

Pošto su $x>0$ i $y>0$ kompleksni broj $1+i\sqrt3$ se nalazi u drugom kvadrantu, pa je $\text{arg}(z)=\varphi.$

\text{arg}(1+i\sqrt3)=\frac{\pi}{3}

Eksponencijalni oblik kompleksnog broja $1+i\sqrt3$ odrediti po formuli: $z=|z|\cdot e^{\varphi \cdot i}.$

1+i\sqrt3=2e^{\frac{\pi}3i}

Uvrstiti dobijenu jednakost u početni izraz.

\sqrt[5]{2e^{\frac{\pi}3i}}

Primeniti formulu za korenovanje kompleksnog broja zapisanog u eksponencijanog obliku $z_k=\sqrt[n]{|z|} \ \cdot \ e^{\frac{\varphi+2k\pi}{n}}, \ k\in\{0, 1, 2, ..., n-1 \}$

\sqrt[5]{2}e^{\frac{\frac{\pi}3+2k\pi}5i}, \quad k\in\{0,1,2,3,4\}

Uvrstiti $k \in\{0, 1, 2,3,4 \}.$

z_0=\sqrt[5]{2}e^{\frac{\frac{\pi}3+2\cdot0\cdot\pi}5i} =\sqrt[5]{2}e^{\frac{\pi}{15}i} \\ z_1=\sqrt[5]{2}e^{\frac{\frac{\pi}3+2\cdot1\cdot\pi}5i}=\sqrt[5]{2}e^{\frac{7\pi}{15}i} \\ z_2=\sqrt[5]{2}e^{\frac{\frac{\pi}3+2\cdot2\cdot\pi}5i}=\sqrt[5]{2}e^{\frac{13\pi}{15}i} \\ z_3=\sqrt[5]{2}e^{\frac{\frac{\pi}3+2\cdot3\cdot\pi}5i}=\sqrt[5]{2}e^{\frac{19\pi}{15}i} \\ z_4=\sqrt[5]{2}e^{\frac{\frac{\pi}3+2\cdot4\cdot\pi}5i}=\sqrt[5]{2}e^{\frac{5\pi}3i}

Sva rešenja prebaciti iz eksponencijalnog u trigonometrijski oblik.

z_0=\sqrt[5]{2}e^{\frac{\pi}{15}i}=\sqrt[5]2\big(\cos\frac{\pi}{15}+i\sin\frac{\pi}{15}\big) \\ z_1=\sqrt[5]{2}e^{\frac{7\pi}{15}i}=\sqrt[5]2\big(\cos\frac{7\pi}{15}+i\sin\frac{7\pi}{15}\big) \\ z_2=\sqrt[5]{2}e^{\frac{13\pi}{15}i}=\sqrt[5]2\big(\cos\frac{13\pi}{15}+i\sin\frac{13\pi}{15}\big) \\ z_3=\sqrt[5]{2}e^{\frac{19\pi}{15}i}=\sqrt[5]2\big(\cos\frac{19\pi}{15}+i\sin\frac{19\pi}{15}\big) \\ z_4=\sqrt[5]{2}e^{\frac{5\pi}3i}=\sqrt[5]2\big(\cos\frac{5\pi}3+i\sin\frac{5\pi}3\big)

824.Trigonometrijski i eksponencijalni oblik

824.
Trigonometrijski i eksponencijalni oblik