823.

Trigonometrijski i eksponencijalni oblik

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

z3+4−48i=0z^3+4-\sqrt{48}i=0
REŠENJE ZADATKA

Izraziti z.z.

z3=−4+48iz=−4+48i3z^3=-4+\sqrt{48}i \\ z=\sqrt[3]{-4+\sqrt{48}i}

Upoređivanjem sa opštim oblikom kompleksnog broja z=x+iyz=x+iy odrediti xx i yy kompleksnog broja −4+48i.-4+\sqrt{48}i.

x=−4y=48x=-4 \\ y=\sqrt{48}

Odrediti moduo broja −4+48i-4+\sqrt{48}i po formuli ∣z∣=x2+y2.|z|=\sqrt{x^2+y^2}.

∣−4+48i∣=(−4)2+(48)2=8|-4+\sqrt{48}i|=\sqrt{(-4)^2+(\sqrt{48})^2}=8

Ugao φ\varphi odrediti po formuli tg⁡φ=∣yx∣.\tg{\varphi=|\frac{y}{x}|}.

tg⁡φ=∣48−4∣=∣43−4∣=3  ⟹  φ=2π3\tg{\varphi} = |\frac{\sqrt{48}}{-4}|= |\frac{4\sqrt3}{-4}|=\sqrt3 \implies \varphi=\frac{2\pi}{3}

Pošto su x<0x<0 i y>0y>0 kompleksni broj −4+48i-4+\sqrt{48}i se nalazi u drugom kvadrantu, pa je arg(z)=φ.\text{arg}(z)=\varphi.

arg(−4+48i)=2π3\text{arg}(-4+\sqrt{48}i)=\frac{2\pi}{3}

Eksponencijalni oblik kompleksnog broja −4+48i-4+\sqrt{48}i odrediti po formuli: z=∣z∣⋅eφ⋅i.z=|z|\cdot e^{\varphi \cdot i}.

−4+48i=8e2π3i-4+\sqrt{48}i=8e^{\frac{2\pi}3i}

Uvrstiti dobijenu jednakost u početni izraz.

8e2π3i3\sqrt[3]{8e^{\frac{2\pi}3i}}

Primeniti formulu za korenovanje kompleksnog broja zapisanog u eksponencijanog obliku zk=∣z∣n ⋅ eφ+2kπn, k∈{0,1,2,...,n−1}z_k=\sqrt[n]{|z|} \ \cdot \ e^{\frac{\varphi+2k\pi}{n}}, \ k\in\{0, 1, 2, ..., n-1 \}

83e2π3+2kπ3i2e2π3+2kπ3i,k∈{0,1,2}\sqrt[3]{8}e^{\frac{\frac{2\pi}3+2k\pi}3i} \\ 2e^{\frac{\frac{2\pi}3+2k\pi}3i}, \quad k \in\{0, 1, 2 \}

Uvrstiti k∈{0,1,2}.k \in\{0, 1, 2 \}.

z0=2e2π3+2⋅0⋅π3i=2e2π9iz1=2e2π3+2⋅1⋅π3i=2e8π9iz2=2e2π3+2⋅2⋅π3i=2e14π9iz_0=2e^{\frac{\frac{2\pi}3+2\cdot0\cdot\pi}3i}=2e^{\frac{2\pi}9i} \\ z_1=2e^{\frac{\frac{2\pi}3+2\cdot1\cdot\pi}3i}=2e^{\frac{8\pi}9i} \\ z_2=2e^{\frac{\frac{2\pi}3+2\cdot2\cdot\pi}3i}=2e^{\frac{14\pi}9i}

Sva rešenja prebaciti iz eksponencijalnog u trigonometrijski oblik.

z0=2e2π9i=2(cos⁡2π9+isin⁡2π9)z1=2e8π9i=2(cos⁡8π9+isin⁡8π9)z2=2e14π9i=2(cos⁡14π9+isin⁡14π9)z_0=2e^{\frac{2\pi}9i}=2\big(\cos\frac{2\pi}9+i\sin\frac{2\pi}9\big) \\ z_1=2e^{\frac{8\pi}9i}=2\big(\cos\frac{8\pi}9+i\sin\frac{8\pi}9\big) \\ z_2=2e^{\frac{14\pi}9i}=2\big(\cos\frac{14\pi}9+i\sin\frac{14\pi}9\big)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti