821.

Trigonometrijski i eksponencijalni oblik

TEKST ZADATKA

Naći:

−8+83i4\sqrt[4]{-8+8\sqrt3i}
REŠENJE ZADATKA

Upoređivanjem sa opštim oblikom kompleksnog broja z=x+iyz=x+iy odrediti xx i yy kompleksnog broja −8+83i.-8+8\sqrt3i.

x=−8y=83x=-8 \\ y=8\sqrt3

Odrediti moduo broja −8+83i-8+8\sqrt3i po formuli ∣z∣=x2+y2.|z|=\sqrt{x^2+y^2}.

∣−8+83i∣=(−8)2+(83)2=16|-8+8\sqrt3i|=\sqrt{(-8)^2+(8\sqrt3)^2}=16

Ugao φ\varphi odrediti po formuli tg⁡φ=∣yx∣.\tg{\varphi=|\frac{y}{x}|}.

tg⁡φ=∣83−8∣=3  ⟹  φ=2π3\tg{\varphi} = |\frac{8\sqrt3}{-8}|=\sqrt3 \implies \varphi=\frac{2\pi}{3}

Pošto su x<0x<0 i y>0y>0 kompleksni broj −8+83i-8+8\sqrt3i se nalazi u drugom kvadrantu, pa je arg(z)=φ.\text{arg}(z)=\varphi.

arg(−8+83i)=2π3\text{arg}(-8+8\sqrt3i)=\frac{2\pi}{3}

Eksponencijalni oblik kompleksnog broja −8+83i-8+8\sqrt3i odrediti po formuli: z=∣z∣⋅eφ⋅i.z=|z|\cdot e^{\varphi \cdot i}.

−8+83i=16e2π3i-8+8\sqrt3i=16e^{\frac{2\pi}3i}

Uvrstiti dobijenu jednakost u početni izraz.

16e2π3i4\sqrt[4]{16e^{\frac{2\pi}3i}}

Primeniti formulu za korenovanje kompleksnog broja zapisanog u eksponencijanog obliku zk=∣z∣n ⋅ eφ+2kπn, k∈{0,1,2,...,n−1}z_k=\sqrt[n]{|z|} \ \cdot \ e^{\frac{\varphi+2k\pi}{n}}, \ k\in\{0, 1, 2, ..., n-1 \}

164e2π3+2kπ4i2e2π3+2kπ4i,k∈{0,1,2,3}\sqrt[4]{16}e^{\frac{\frac{2\pi}3+2k\pi}4i}\\ 2e^{\frac{\frac{2\pi}3+2k\pi}4i}, \quad k \in\{0, 1, 2, 3 \}

Uvrstiti k∈{0,1,2,3}.k \in\{0, 1, 2, 3 \}.

z0=2e2π34i=2eπ6iz1=2e2π3+2⋅1⋅π4i=2e2π3iz2=2e2π3+2⋅2⋅π4i=2e7π6iz3=2e2π3+2⋅3⋅π4i=2e5π3iz_0=2e^{\frac{\frac{2\pi}3}4i}=2e^{\frac{\pi}6i} \\ z_1=2e^{\frac{\frac{2\pi}3+2\cdot1\cdot\pi}4i}=2e^{\frac{2\pi}3i} \\ z_2=2e^{\frac{\frac{2\pi}3+2\cdot2\cdot\pi}4i}=2e^{\frac{7\pi}6i}\\ z_3=2e^{\frac{\frac{2\pi}3+2\cdot3\cdot\pi}4i}=2e^{\frac{5\pi}3i}

Sva rešenja prebaciti iz eksponencijalnog u trigonometrijski oblik.

z0=2eπ6i=2(cos⁡π6+isin⁡π6)z1=2e2π3i=2(cos⁡2π3+isin⁡2π3)z2=2e7π6i=2(cos⁡7π6+isin⁡7π6)z3=2e5π3i=2(cos⁡5π3+isin⁡5π3)z_0=2e^{\frac{\pi}6i}=2\big(\cos\frac{\pi}6+i\sin\frac{\pi}6\big) \\ z_1=2e^{\frac{2\pi}3i}=2\big(\cos\frac{2\pi}3+i\sin\frac{2\pi}3\big) \\ z_2=2e^{\frac{7\pi}6i}=2\big(\cos\frac{7\pi}6+i\sin\frac{7\pi}6\big)\\ z_3=2e^{\frac{5\pi}3i}=2\big(\cos\frac{5\pi}3+i\sin\frac{5\pi}3\big)

Uvrstiti vrednosti trigonometrijskih funkcija.

z0=2(32+129)=3+iz1=2(−12+32i)=−1+3iz2=2(−32−12i)=−3−iz3=2(12−32i)=1−3iz_0=2\big(\frac{\sqrt3}2+\frac129\big)=\sqrt3+i \\ z_1=2\big(-\frac12+\frac{\sqrt3}2i\big)=-1+\sqrt3i \\ z_2=2\big(-\frac{\sqrt3}2-\frac12i\big)=-\sqrt3-i\\ z_3=2\big(\frac{1}2-\frac{\sqrt3}2i\big)=1-\sqrt3i

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti