801.

Trigonometrijski i eksponencijalni oblik

TEKST ZADATKA

Odrediti proizvod i količnik kompleksnih brojeva:

z1=1+3iiz2=1+iz_1=1+\sqrt3i \quad \text{i}\quad z_2=1+i
REŠENJE ZADATKA

Upoređivanjem sa opštim oblikom kompleksnog broja z=x+iyz=x+iy odrediti x1x_1 i y1,y_1, odnosno x2x_2 i y2.y_2.

x1=1∧y1=3x2=1∧y2=1x_1=1 \quad\land\quad y_1=\sqrt3 \\ x_2=1 \quad\land\quad y_2=1

Odrediti moduo brojeva z1z_1 i z2z_2 po formuli ∣z∣=x2+y2.|z|=\sqrt{x^2+y^2}.

∣z1∣=12+(3)2=2∣z2∣=12+12=2|z_1|=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=2 \\ |z_2|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2

Pošto je x1>0x_1>0 i y1>0y_1>0 kompleksni broj zz se nalazi na pozitivnom delu imaginarne ose. U tom slučaju, ugao koji vektor broja zz zaklapa sa pozitivnim smerom realne ose iznosi π3,\frac{\pi}3, pa je:

φ1=π3\varphi_1=\frac{\pi}3

Pošto je x2>0x_2>0 i y2>0y_2>0 kompleksni broj zz se nalazi na pozitivnom delu imaginarne ose. U tom slučaju, ugao koji vektor broja zz zaklapa sa pozitivnim smerom realne ose iznosi π4,\frac{\pi}4, pa je:

φ2=π4\varphi_2=\frac{\pi}4

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja z1z_1 odrediti po formuli: z=∣z∣⋅(cos⁡φ+isin⁡φ).z=|z|\cdot(\cos{\varphi}+i\sin{\varphi}).

z1=2 (cos⁡π3+isin⁡π3)z_1=2 \ (\cos{\frac{\pi}{3}} + i\sin{\frac{\pi}{3}})

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja z2z_2 odrediti po formuli: z=∣z∣⋅(cos⁡φ+isin⁡φ).z=|z|\cdot(\cos{\varphi}+i\sin{\varphi}).

z2=2 (cos⁡π4+isin⁡π4)z_2=\sqrt2 \ (\cos{\frac{\pi}{4}} + i\sin{\frac{\pi}{4}})

Eksponencijalni oblik kompleksnog broja z1z_1 odrediti po formuli: z=∣z∣⋅eφ⋅i.z=|z|\cdot e^{\varphi \cdot i}.

z1=2 eπ3⋅iz_1=2 \ e^{\frac{\pi}{3} \cdot i}

Eksponencijalni oblik kompleksnog broja z2z_2 odrediti po formuli: z=∣z∣⋅eφ⋅i.z=|z|\cdot e^{\varphi \cdot i}.

z2=2 eπ4⋅iz_2=\sqrt2 \ e^{\frac{\pi}{4} \cdot i}

Odrediti proizvod brojeva ∣z1∣|z_1| i ∣z2∣.|z_2|.

∣z1z2∣=2⋅2=22|z_1z_2|=2\cdot\sqrt2=2\sqrt2

Argument proizvoda brojeva z1z_1 i z2z_2 je zbir uglova φ1\varphi_1 i φ2.\varphi_2.

φ1+φ2=π3+π4=7π12\varphi_1+\varphi_2=\frac{\pi}3+\frac{\pi}4=\frac{7\pi}{12}

Sledi da je proizvod kompleksnih brojeva z1z_1 i z2z_2 jednak:

z1z2=22(cos⁡7π12+isin⁡7π12)z1z2=22e7π12iz_1z_2=2\sqrt2(\cos\frac{7\pi}{12}+i\sin\frac{7\pi}{12}) \\ z_1z_2=2\sqrt2e^{\frac{7\pi}{12}i}

Odrediti količnik brojeva ∣z1∣|z_1| i ∣z2∣.|z_2|.

∣z1∣∣z2∣=22=2\frac{|z_1|}{|z_2|}=\frac2{\sqrt2}=\sqrt2

Argument proizvoda brojeva z1z_1 i z2z_2 je razlika uglova φ1\varphi_1 i φ2.\varphi_2.

φ1−φ2=π3−π4=π12\varphi_1-\varphi_2=\frac{\pi}3-\frac{\pi}4=\frac{\pi}{12}

Sledi da je količnik kompleksnih brojeva z1z_1 i z2z_2jednak:

z1z2=2(cos⁡π12+isin⁡π12)z1z2=2eπ12i\frac{z_1}{z_2}=\sqrt2(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}) \\ \frac{z_1}{z_2}=\sqrt2e^{\frac{\pi}{12}i}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti