2931.

Trigonometrijske nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačine: 2cos⁡x tg x−6cos⁡x+tg x−3>0,x∈[0,2π]. \sqrt{2} \cos x \text{ tg } x - \sqrt{6} \cos x + \text{tg } x - \sqrt{3} > 0, x \in [0, 2\pi].

REŠENJE ZADATKA

Prvo, određujemo domen nejednačine. Funkcija tangens nije definisana za x=π2 x = \frac{\pi}{2} i x=3π2. x = \frac{3\pi}{2} . Uzimajući u obzir dati interval, domen je:

x∈[0,2π]∖{π2,3π2}x \in [0, 2\pi] \setminus \left\{\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right\}

Faktorišemo izraz na levoj strani nejednačine grupovanjem članova:

(2cos⁡x tg x−6cos⁡x)+(tg x−3)>0(\sqrt{2} \cos x \text{ tg } x - \sqrt{6} \cos x) + (\text{tg } x - \sqrt{3}) > 0

Izvlačimo zajednički faktor 2cos⁡x \sqrt{2} \cos x iz prve zagrade:

2cos⁡x(tg x−3)+1⋅(tg x−3)>0\sqrt{2} \cos x (\text{tg } x - \sqrt{3}) + 1 \cdot (\text{tg } x - \sqrt{3}) > 0

Sada izvlačimo zajednički faktor tg x−3: \text{tg } x - \sqrt{3} :

(2cos⁡x+1)(tg x−3)>0(\sqrt{2} \cos x + 1)(\text{tg } x - \sqrt{3}) > 0

Da bismo rešili nejednačinu, tražimo nule svakog faktora na intervalu [0,2π]. [0, 2\pi] .

Rešavamo prvu jednačinu:

2cos⁡x+1=0  ⟹  cos⁡x=−22\sqrt{2} \cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}

Rešenja ove jednačine na intervalu [0,2π] [0, 2\pi] su:

x1=3π4,x2=5π4x_1 = \frac{3\pi}{4}, \quad x_2 = \frac{5\pi}{4}

Rešavamo drugu jednačinu:

tg x−3=0  ⟹  tg x=3\text{tg } x - \sqrt{3} = 0 \implies \text{tg } x = \sqrt{3}

Rešenja ove jednačine na intervalu [0,2π] [0, 2\pi] su:

x3=π3,x4=4π3x_3 = \frac{\pi}{3}, \quad x_4 = \frac{4\pi}{3}

Kritične tačke koje dele domen na intervale su nule faktora i tačke prekida tangensa: 0,π3,π2,3π4,5π4,4π3,3π2,2π. 0, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}, 2\pi .

Formiramo tabelu znakova za faktore i njihov proizvod na dobijenim intervalima.

[0,π3)[0, \frac{\pi}{3})
(π3,π2)(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2})
(π2,3π4)(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4})
(3π4,5π4)(\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4})
(5π4,4π3)(\frac{5\pi}{4}, \frac{4\pi}{3})
(4π3,3π2)(\frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2})
(3π2,2π](\frac{3\pi}{2}, 2\pi]
2cos⁡x+1\sqrt{2} \cos x + 1
++
++
++
−−
++
++
++
tg x−3\text{tg } x - \sqrt{3}
−−
++
−−
−−
−−
++
−−
Proizvod\text{Proizvod}
−−
++
−−
++
−−
++
−−

Na osnovu tabele znakova, proizvod je pozitivan na intervalima gde je znak "+". Zato je konačno rešenje nejednačine:

x∈(π3,π2)∪(3π4,5π4)∪(4π3,3π2)x \in \left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}\right)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti