2858. Trigonometrijske jednačine

Primenjujemo formulu za sinus dvostrukog ugla $\sin 2x = 2 \sin x \cos x .$

2 \sin^2 x + \cos^2 x = \frac{3}{2} \cdot 2 \sin x \cos x

Sređivanjem i prebacivanjem svih članova na levu stranu dobijamo homogenu trigonometrijsku jednačinu drugog stepena:

2 \sin^2 x - 3 \sin x \cos x + \cos^2 x = 0

Delimo celu jednačinu sa $\cos^2 x .$ (Napomena: $\cos x \neq 0 ,$ jer bi u suprotnom iz jednačine sledilo da je i $\sin x = 0 ,$ što je nemoguće zbog osnovnog trigonometrijskog identiteta $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ ).

2 \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 3 \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0

Koristeći identitet $\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x ,$ jednačina se svodi na:

2 \tan^2 x - 3 \tan x + 1 = 0

Uvodimo smenu $t = \tan x$ i dobijamo algebarsku kvadratnu jednačinu:

2t^2 - 3t + 1 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t :$

t_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} = \frac{3 \pm 1}{4}

Dobijamo dva rešenja za $t :$

t_1 = 1, \quad t_2 = \frac{1}{2}

Vraćamo smenu za prvo rešenje $t_1 = 1$ i rešavamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu:

\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Vraćamo smenu za drugo rešenje $t_2 = \frac{1}{2}$ i rešavamo drugu osnovnu trigonometrijsku jednačinu:

\tan x = \frac{1}{2} \implies x = \arctan \frac{1}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Konačno rešenje predstavlja uniju dobijenih rešenja:

x \in \left\{ \frac{\pi}{4} + k\pi, \arctan \frac{1}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}

Započni učenje

Online grupni časovi

2858.
Trigonometrijske jednačine

2858.Trigonometrijske jednačine

2858.
Trigonometrijske jednačine