2857. Trigonometrijske jednačine

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ kako bismo jednačinu izrazili preko funkcije sinus.

8(1 - \sin^2 x) + 6 \sin x - 3 = 0

Sređujemo dobijenu jednačinu.

8 - 8 \sin^2 x + 6 \sin x - 3 = 0

Množenjem sa $-1$ dobijamo kvadratnu jednačinu po $\sin x .$

8 \sin^2 x - 6 \sin x - 5 = 0

Uvodimo smenu $t = \sin x .$ Pošto vrednost sinusa mora biti u intervalu $[-1, 1] ,$ važi uslov $t \in [-1, 1] .$

8t^2 - 6t - 5 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t .$

t_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-5)}}{2 \cdot 8}

Računamo vrednosti pod korenom.

t_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 160}}{16} = \frac{6 \pm \sqrt{196}}{16} = \frac{6 \pm 14}{16}

Dobijamo dva rešenja za $t .$

t_1 = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}, \quad t_2 = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2}

Analiziramo prvo rešenje $t_1 = \frac{5}{4} .$ Pošto je $\frac{5}{4} > 1 ,$ ovo rešenje ne zadovoljava uslov $t \in [-1, 1] .$

\sin x = \frac{5}{4} \quad \text{(nema rešenja)}

Analiziramo drugo rešenje $t_2 = -\frac{1}{2} .$ Ono zadovoljava uslov, pa ga vraćamo u smenu.

\sin x = -\frac{1}{2}

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu. Sinus je negativan u trećem i četvrtom kvadrantu.

x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \lor \quad x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

2857.Trigonometrijske jednačine