2856. Trigonometrijske jednačine

Koristićemo poznate trigonometrijske identitete za sinus trostrukog i kosinus dvostrukog ugla:

\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x \quad \text{i} \quad \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x

Zamenom ovih identiteta u početnu jednačinu dobijamo:

(3\sin x - 4\sin^3 x) + (1 - 2\sin^2 x) = 1

Sređivanjem jednačine, poništavanjem jedinica sa obe strane, dobijamo:

3\sin x - 4\sin^3 x - 2\sin^2 x = 0

Izvlačimo zajednički faktor $\sin x$ ispred zagrade (i množimo sa $-1$ radi lakšeg zapisa):

\sin x (4\sin^2 x + 2\sin x - 3) = 0

Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od činilaca jednak nuli. Prvi slučaj je:

\sin x = 0 \implies x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Drugi slučaj je kvadratna jednačina po $\sin x :$

4\sin^2 x + 2\sin x - 3 = 0

Uvodimo smenu $t = \sin x ,$ uz uslov $t \in [-1, 1] .$ Rešavamo kvadratnu jednačinu $4t^2 + 2t - 3 = 0 :$

t_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3)}}{2 \cdot 4} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 48}}{8} = \frac{-2 \pm \sqrt{52}}{8} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{13}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{4}

Proveravamo da li rešenja pripadaju intervalu $[-1, 1] .$ Pošto je $\sqrt{13} \approx 3.6 :$

t_1 = \frac{-1 + \sqrt{13}}{4} \approx 0.65 \in [-1, 1] \quad \text{i} \quad t_2 = \frac{-1 - \sqrt{13}}{4} \approx -1.15 \notin [-1, 1]

Vraćamo smenu samo za rešenje $t_1$ koje zadovoljava uslov:

\sin x = \frac{\sqrt{13} - 1}{4}

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu:

x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{13} - 1}{4}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Konačno rešenje je unija rešenja iz oba slučaja:

x \in \{ k\pi \} \cup \left\{ (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{13} - 1}{4}\right) + k\pi \right\}, \quad k \in \mathbb{Z}

918