2859.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

sin⁡2x+sin⁡22x=1\sin^2 x + \sin^2 2x = 1
REŠENJE ZADATKA

Koristićemo formulu za polovinu ugla sin⁡2x=1−cos⁡2x2 \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} i osnovni trigonometrijski identitet sin⁡22x=1−cos⁡22x \sin^2 2x = 1 - \cos^2 2x kako bismo jednačinu sveli na funkciju od cos⁡2x. \cos 2x .

1−cos⁡2x2+1−cos⁡22x=1\frac{1 - \cos 2x}{2} + 1 - \cos^2 2x = 1

Množenjem jednačine sa 2 i prebacivanjem svih članova na jednu stranu, dobijamo kvadratnu jednačinu po cos⁡2x. \cos 2x .

1−cos⁡2x+2−2cos⁡22x=2−2cos⁡22x−cos⁡2x+1=02cos⁡22x+cos⁡2x−1=01 - \cos 2x + 2 - 2\cos^2 2x = 2 \\ -2\cos^2 2x - \cos 2x + 1 = 0 \\ 2\cos^2 2x + \cos 2x - 1 = 0

Uvodimo smenu t=cos⁡2x t = \cos 2x kako bismo dobili algebarsku jednačinu.

2t2+t−1=02t^2 + t - 1 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po t. t .

t1,2=−1±12−4⋅2⋅(−1)2⋅2=−1±94=−1±34t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}

Dobijamo dva rešenja za t. t .

t1=24=12,t2=−44=−1t_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad t_2 = \frac{-4}{4} = -1

Vraćamo smenu za prvi slučaj t1=12 t_1 = \frac{1}{2} i rešavamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu.

cos⁡2x=12\cos 2x = \frac{1}{2}

Rešavamo po x. x .

2x=±π3+2kπ⇒x=±π6+kπ,k∈Z2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Vraćamo smenu za drugi slučaj t2=−1 t_2 = -1 i rešavamo drugu osnovnu trigonometrijsku jednačinu.

cos⁡2x=−1\cos 2x = -1

Rešavamo po x. x .

2x=π+2kπ⇒x=π2+kπ,k∈Z2x = \pi + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Konačno rešenje je unija svih dobijenih rešenja.

x∈{±π6+kπ}∪{π2+kπ},k∈Zx \in \left\{ \pm \frac{\pi}{6} + k\pi \right\} \cup \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \right\}, \quad k \in \mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti