Podeli

478.
Trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\tg6x-3\tg3x=0

REŠENJE ZADATKA

Primeniti izvedenu formulu za tangens poluugla: $\tg{\alpha}=\frac {2\tg\frac {\alpha} 2} {1-\tg^2\frac{\alpha}2}$

\frac {2\tg 3x} {1-\tg^2 3x} -3\tg3x=0

Oduzeti razlomke:

\frac {2\tg 3x-3\tg3x(1-\tg^2 3x)} {1-\tg^2 3x} =0

Dopisati uslov:

1-\tg^23x\not=0 \implies x\not=\pm\frac {\pi} {12}+\frac {k\pi} 5

Jednačina je moguća ako je brojilac jednak 0:

2\tg 3x-3\tg3x(1-\tg^2 3x)=0

Osloboditi se zagrade množenjem:

-\tg3x+3\tg^3 3x=0

DODATNO OBJAŠNJENJE

2\tg 3x-3\tg3x+3\tg^3 3x=0

Izvući zajednički činilac ispred zagrade:

\tg3x(3\tg^2 3x-1)=0

Jednačina ima dva rešenja:

\tg3x=0\quad\lor\quad 3\tg^2 3x-1=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=\frac {k\pi} 3, \quad k\in \mathbb{Z}

DODATNO OBJAŠNJENJE

3x=k\pi

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=\pm\frac {\pi} {18}+k\pi,\quad k\in \mathbb{Z}

DODATNO OBJAŠNJENJE

3\tg^2 3x=1

\tg^2 3x=\frac1 3

\tg 3x=\pm\frac1 {\sqrt3}

3x=\pm\frac {\pi} 6+k\pi

Kombinovanjem rešenja iz oba slučaja dobija se konačno rešenje:

x\in\{\pm\frac {\pi} {18}+k\pi, \frac {k\pi} 3\},\quad k\in \mathbb{Z}

478.Trigonometrijska jednačina