479.

Trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

2cos⁡4x−2cos⁡2x=4cos⁡2x−12\cos4x-2\cos2x=4\cos^2x-1
REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za sinus dvostrukog ugla: sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α \sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}

2(cos⁡22x−sin⁡22x)−2cos⁡2x=4cos⁡2x−12(\cos^22x-\sin^22x)-2\cos2x=4\cos^2x-1

Primeniti formule za kosinus poluugla: ∣cos⁡α2∣=1+cos⁡α2 |\cos{\frac {\alpha} 2} |=\sqrt{\frac {1+\cos{\alpha}} 2}

2(cos⁡22x−sin⁡22x)−2cos⁡2x=2(1+cos⁡2x)−12(\cos^22x-\sin^22x)-2\cos2x=2(1+\cos2x)-1
DODATNO OBJAŠNJENJE

Osloboditi se zagrada množenjem:

2cos⁡22x−2sin⁡22x−2cos⁡2x=2+2cos⁡2x−12\cos^22x-2\sin^22x-2\cos2x=2+2\cos2x-1

Iz osnovne relacije: sin⁡2α+cos⁡2α=1,\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1, izraziti: sin⁡2α=1−cos⁡2α \sin^2\alpha =1-\cos^2\alpha i zameniti u jednakost:

2cos⁡22x−2(1−cos⁡22x)−2cos⁡2x=2+2cos⁡2x−12\cos^22x-2(1-\cos^22x)-2\cos2x=2+2\cos2x-1

Osloboditi se zagrade množenjem:

2cos⁡22x−2+2cos⁡22x−2cos⁡2x=2+2cos⁡2x−12\cos^22x-2+2\cos^22x-2\cos2x=2+2\cos2x-1

Prebaciti sve sabirke na jednu stranu znaka jednakosti:

4cos⁡22x−4cos⁡2x−3=04\cos^22x-4\cos2x-3=0
DODATNO OBJAŠNJENJE

Uvesti smenu:

cos⁡2x=t\cos2x=t

Uvrstiti smenu u izraz:

4t2−4t−3=04t^2-4t-3=0

Rešavanjem kvadratne jednačine dobijaju se dva rešenja:

t1=−12∨t2=32t_1=-\frac 12 \quad\lor\quad t_2=\frac 3 2

Zameniti smenu početnim izrazom:

cos⁡2x=−12∨cos⁡2x=32\cos2x=-\frac 12 \quad\lor\quad \cos2x=\frac 3 2

Rešavanjem prve jednačine dobija se konačno rešenje:

x=±π3+kπ,k∈Zx=\pm\frac {\pi} 3+k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

Rešavanjem druge jednačine ne dobija se rešenje, jer je kosinusna funkcija definisana jedino u skupu [-1,1]:

cos⁡2x=32\cos2x=\frac 3 2

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti