Podeli

480.
Trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\sin(\frac {\pi} 2+\frac x 2)=\cos(\pi-x)-1

REŠENJE ZADATKA

Svesti trigonometrijske funkcije na oštar ugao:

\cos\frac x 2=-\cos{x}-1

Preobraziti sabirak kako bi se mogla primeniti formula za kosinus dvostrukog ugla:

\cos\frac x 2=-\cos(2\cdot\frac x2)-1

Primeniti formulu za kosinus dvostrukog ugla: $\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}$

\cos\frac x 2=-\cos^2\frac x2+\sin^2\frac x2-1

Iz osnovne relacije: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1,$ izraziti: $\sin^2\alpha =1-\cos^2\alpha$ i zameniti u jednakost:

\cos\frac x 2=-2\cos^2\frac x2

DODATNO OBJAŠNJENJE

\cos\frac x 2=-\cos^2\frac x2+1-\cos^2\frac x2-1

Prebaciti sve sabirke na jednu stranu znaka jednakosti:

2\cos^2\frac x2+\cos\frac x 2=0

Izvući zajednički činilac ispred zagrade:

\cos\frac x2(2\cos\frac x 2+1)=0

Jednačina ima dva rešenja:

\cos\frac x2=0\quad\lor\quad 2\cos\frac x 2+1=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=\pi+2k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\frac x2=\frac {\pi} 2+k\pi

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=\pm\frac {2\pi}3+2k\pi \quad\lor\quad =\pm\frac {4\pi} 3+2k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

DODATNO OBJAŠNJENJE

2\cos\frac x 2=-1

\cos\frac x 2=-\frac 12

\frac x 2=\pm\frac {\pi}3+2k\pi \quad\lor\quad \frac x2=\pm\frac {2\pi} 3+2k\pi

Kombinovanjem rešenja iz oba slučaja dobija se konačno rešenje:

x\in\{\pm\frac {4\pi} 3+2k\pi, \pi+2k\pi\}, \quad k\in \mathbb{Z}

480.Trigonometrijska jednačina