Podeli

434.
Trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\frac {\sin{3x}} {\sin{x}}+\frac {\cos{3x}} {\cos{x}}=\frac 5 2+\cos{4x}

REŠENJE ZADATKA

Preobraziti sabirke kako bi se mogle primeniti formule za sinus i kosinus zbira dva ugla:

\frac {\sin{(2x+x)}} {\sin{x}}+\frac {\cos{(2x+x)}} {\cos{x}}=\frac 5 2+\cos{(2x+2x)}

Primeniti formulu za kosinus zbira dva ugla: $\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}$

\frac {\sin{(2x+x)}} {\sin{x}}+\frac {\cos{2x}\cos{x}-\sin{2x}\sin{x}} {\cos{x}}=\frac 5 2+\cos{2x}\cos{2x}-\sin{2x}\sin{2x}

Primeniti formulu za sinus zbira dva ugla: $\sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}$

\frac {\sin{2x}\cos{x}+\cos{2x}\sin{x}} {\sin{x}}+\frac {\cos{2x}\cos{x}-\sin{2x}\sin{x}} {\cos{x}}=\frac 5 2+\cos^2{2x}-\sin^2{2x}

Primeniti formulu za kosinus dvostrukog ugla: $\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}$

\frac {\sin{2x}\cos{x}+(\cos^2{x}-\sin^2x)\sin{x}} {\sin{x}}+\frac {(\cos^2{x}-\sin^2x)\cos{x}-\sin{2x}\sin{x}} {\cos{x}}=\frac 5 2+\cos^2{2x}-\sin^2{2x}

Primeniti formulu za sinus dvostrukog ugla: $\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$

\frac {2\sin{x}\cos^2{x}+(\cos^2{x}-\sin^2x)\sin{x}} {\sin{x}}+\frac {(\cos^2{x}-\sin^2x)\cos{x}-2\sin^2{x}\cos{x}} {\cos{x}}=\frac 5 2+\cos^2{2x}-\sin^2{2x}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\frac {2\sin{x}\cos{x}\cos{x}+(\cos^2{x}-\sin^2x)\sin{x}} {\sin{x}}+\frac {(\cos^2{x}-\sin^2x)\cos{x}-2\sin{x}\cos{x}\sin{x}} {\cos{x}}=\frac 5 2+\cos^2{2x}-\sin^2{2x}

Izvući zajedničke činioce ispred zagrade:

\frac {\sin{x}(3\cos^2{x}-\sin^2x)} {\sin{x}}+\frac {\cos{x}(\cos^2{x}-3\sin^2{x})} {\cos{x}}=\frac 5 2+\cos^2{2x}-\sin^2{2x}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\frac {\sin{x}(2\cos^2{x}+\cos^2{x}-\sin^2x)} {\sin{x}}+\frac {\cos{x}(\cos^2{x}-\sin^2x-2\sin^2{x})} {\cos{x}}=\frac 5 2+\cos^2{2x}-\sin^2{2x}

Iz osnovne relacije: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1,$ izraziti: $\sin^2\alpha =1-\cos^2\alpha$ i zameniti u jednakost:

\frac {\sin{x}(3\cos^2{x}-\sin^2x)} {\sin{x}}+\frac {\cos{x}(4\cos^2{x}-3)} {\cos{x}}=\frac 3 2+2\cos^2{2x}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\frac {\sin{x}(3\cos^2{x}-\sin^2x)} {\sin{x}}+\frac {\cos{x}(\cos^2{x}-3+3\cos^2{x}))} {\cos{x}}=\frac 3 2+2\cos^2{2x}

Iz osnovne relacije: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1,$ izraziti: $\cos^2\alpha =1-\sin^2\alpha$ i zameniti u jednakost:

\frac {\sin{x}(3-4\sin^2{x})} {\sin{x}}+\frac {\cos{x}(4\cos^2{x}-3)} {\cos{x}}=\frac 3 2+2\cos^2{2x}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\frac {\sin{x}(3(1-\sin^2{x})-\sin^2x)} {\sin{x}}+\frac {\cos{x}(4\cos^2{x}-3)} {\cos{x}}=\frac 5 2+\cos^2{2x}-\sin^2{2x}

\frac {\sin{x}(3-3\sin^2{x}-\sin^2x)} {\sin{x}}+\frac {\cos{x}(4\cos^2{x}-3)} {\cos{x}}=\frac 5 2+\cos^2{2x}-\sin^2{2x}

Skratiti zajedničke činioce:

3-4\sin^2{x}+4\cos^2{x}-3=\frac 3 2+2\cos^2{2x}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\frac {\cancel{\sin{x}}(3-4\sin^2{x})} {\cancel{\sin{x}}}+\frac {\cancel\cos{x}(4\cos^2{x}-3)} {\cancel\cos{x}}=\frac 5 2+\cos^2{2x}-\sin^2{2x}

Srediti izraz sa leve strane znaka jednakosti:

4\cos^2x-4\sin^2{x}=\frac 3 2+2\cos^2{2x}

Izvući zajednički činilac ispred zagrade:

4(\cos^2x-\sin^2{x})=\frac 3 2+2\cos^2{2x}

Primeniti formulu za kosinus dvostrukog ugla: $\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}$

4\cos2x=\frac 3 2+2\cos^2{2x}

Prebaciti sve sabirke na jednu stranu znaka jednakosti:

2\cos^2{2x}-4\cos2x+\frac 3 2=0

Uvesti smenu:

\cos2x=t

Uvrstiti smenu u izraz:

2t^2-4t+\frac 3 2=0

Pomnožiti ceo izraz sa 2:

4t^2-8t+3=0

Rešavanjem kvadratne jednačine dobijaju se dva rešenja:

t_1=\frac 1 2\quad \lor\quad t_2=\frac 3 2

DODATNO OBJAŠNJENJE

t_{1,2}=\frac {8 \pm \sqrt{64-48}} 8

t_{1,2}=\frac {8\pm4} 8

Zameniti smenu početnim izrazom:

\cos2x=\frac 1 2 \quad\lor\quad \cos2x=\frac 3 2

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=\frac {\pi} 6+k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

DODATNO OBJAŠNJENJE

2x=\frac {\pi}3 +2k\pi

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=-\frac {\pi} 6+k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

DODATNO OBJAŠNJENJE

2x=-\frac {\pi}3 +2k\pi

Konačno rešenje:

x=\pm\frac {\pi} 6+k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

434.Trigonometrijska jednačina