Podeli

443.
Trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\cos{2x}-3\cos{x}=4\cos^2\frac x 2

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za kosinus dvostrukog ugla: $\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}$

\cos^2x-\sin^2x-3\cos{x}=4\cos^2\frac x 2

Primeniti formulu za kosinus poluugla: $|\cos{\frac {\alpha} 2} |=\sqrt{\frac {1+\cos{\alpha}} 2}$

\cos^2x-\sin^2x-3\cos{x}=2(1+\cos{x})

DODATNO OBJAŠNJENJE

\frac {1+\cos{\alpha}} 2=\cos^2{\frac {\alpha} 2}

\cos^2x-\sin^2x-3\cos{x}=4\cdot\frac {1+\cos{x}} 2

Osloboditi se zagrade množenjem:

\cos^2x-\sin^2x-3\cos{x}=2+2\cos{x}

Prebaciti sve sabirke na jednu stranu znaka jednakosti:

\cos^2x-\sin^2x-5\cos{x}-2=0

DODATNO OBJAŠNJENJE

\cos^2x-\sin^2x-3\cos{x}-2-2\cos{x}=0

Iz osnovne relacije: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1,$ izraziti: $\sin^2\alpha =1-\cos^2\alpha$ i zameniti u jednakost:

2\cos^2x-5\cos{x}-3=0

DODATNO OBJAŠNJENJE

\cos^2x-1+\cos^2x-5\cos{x}-2=0

Uvesti smenu:

\cos{x}=t

Uvrstiti smenu u izraz:

2t^2-5t-3=0

Rešavanjem kvadratne jednačine dobijaju se dva rešenja:

t_1=-\frac 1 2\quad \lor \quad t_2=3

DODATNO OBJAŠNJENJE

t_{1,2}=\frac {5 \pm \sqrt{25+24}} 4

t_{1,2}=\frac {5\pm7} 4

Zameniti smenu početnim izrazom:

\cos{x}=-\frac 1 2 \quad\lor \quad\cos{x}=3

Kako je kosinusna funkcija definisana samo u skupu $[-1,1] ,$ jedno rešenje se ne uzima u obzir. Rešenje koje odgovara skupu je:

\cos{x}=-\frac1 2

Rešavanjem jednačine dobijaju se dva rešenja:

x=\pm\frac {5\pi} 6+2k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

443.Trigonometrijska jednačina