Podeli

444.
Trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\tg{x}+\ctg{x}=\frac 52

REŠENJE ZADATKA

Primeniti osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija: $\ctg{\alpha}=\frac 1 {\tg{\alpha}}$

\tg{x}+\frac 1 {\tg{x}}=\frac 52

Pomnožiti ceo izraz sa $2\tg{x}:$

2\tg^2{x}+2=5\tg{x}

Prebaciti sve sabirke na jednu stranu znaka jednakosti:

2\tg^2{x}-5\tg{x}+2=0

Uvesti smenu:

\tg{x}=t

Uvrstiti smenu u izraz:

2t^2-5t+2=0

Rešavanjem kvadratne jednačine dobijaju se dva rešenja:

t_1=\frac 1 2 \quad\lor\quad t_2=2

DODATNO OBJAŠNJENJE

t_{1,2}=\frac {5 \pm \sqrt{25-16}} 4

t_{1,2}=\frac {5 \pm 3} 4

Zameniti smenu početnim izrazom:

\tg{x}=\frac 1 2 \quad\lor\quad \tg{x}=2

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=\arctg\frac 1 2+k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=\arctg2+k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

Konačno rešenje:

x\in\{\arctg\frac 1 2+k\pi, \arctg2+k\pi\}, \quad k\in \mathbb{Z}

444.Trigonometrijska jednačina