Podeli

445.
Trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\tg{x}+2\ctg{x}=3

REŠENJE ZADATKA

Primeniti osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija: $\ctg{\alpha}=\frac 1 {\tg{\alpha}}$

\tg{x}+\frac 2 {\tg{x}}=3

Pomnožiti ceo izraz sa $\tg{x}:$

\tg^2{x}+2=3\tg{x}

Prebaciti sve sabirke na jednu stranu znaka jednakosti:

\tg^2{x}-3\tg{x}+2=0

Uvesti smenu:

\tg{x}=t

Uvrstiti smenu u izraz:

t^2-3t+2=0

Rešavanjem kvadratne jednačine dobijaju se dva rešenja:

t_1=1 \quad\lor \quad t_2=2

DODATNO OBJAŠNJENJE

t_{1,2}=\frac {3 \pm \sqrt{9-8}} 2

t_{1,2}=\frac {3 \pm 1} 2

Zameniti smenu početnim izrazom:

\tg{x}=1 \quad\lor\quad \tg{x}=2

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=\frac {\pi} 4+k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=\arctg2+k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

Konačno rešenje:

x\in \{\frac {\pi} 4+k\pi, \arctg2+k\pi\}, \quad k\in \mathbb{Z}

445.Trigonometrijska jednačina