446.

Trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

sin⁡x+cos⁡x+tg⁡x=1cos⁡x\sin{x}+\cos{x}+\tg{x}=\frac 1 {\cos{x}}
REŠENJE ZADATKA

Postaviti uslove pri kojima je jednačina jedino moguća:

x≠π2+kπ,k∈Zx\not =\frac {\pi} 2+k\pi, k\in Z
DODATNO OBJAŠNJENJE

Primeniti osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija: tg⁡α=sin⁡αcos⁡α \tg{\alpha}=\frac {\sin{\alpha}} {\cos{\alpha}}

sin⁡x+cos⁡x+sin⁡xcos⁡x=1cos⁡x\sin{x}+\cos{x}+\frac {\sin{x}} {\cos{x}}=\frac 1 {\cos{x}}

Pomnožiti ceo izraz sa cos⁡x:\cos{x}:

sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x+sin⁡x=1\sin{x}\cos{x}+\cos^2{x}+\sin{x}=1

Prebaciti sve sabirke na jednu stranu znaka jednakosti:

sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x+sin⁡x−1=0\sin{x}\cos{x}+\cos^2{x}+\sin{x}-1=0

Iz osnovne relacije: sin⁡2α+cos⁡2α=1,\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1, izraziti: cos⁡2α=1−sin⁡2α \cos^2\alpha =1-\sin^2\alpha i zameniti u jednakost:

sin⁡xcos⁡x−sin⁡2x+sin⁡x=0\sin{x}\cos{x}-\sin^2{x}+\sin{x}=0
DODATNO OBJAŠNJENJE

Izvući zajednički činilac ispred zagrade:

sin⁡x(cos⁡x−sin⁡x+1)=0\sin{x}(\cos{x}-\sin{x}+1)=0

Jednačina ima dva rešenja:

sin⁡x=0∨cos⁡x−sin⁡x+1=0\sin{x}=0 \quad\lor \quad\cos{x}-\sin{x}+1=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se rešenje, koje je ujedno i konačno:

x=kπ,k∈Zx=k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

Rešavanjem druge jednačine dobija se rešenje koje ne odgovara uslovu jednačine, tako da se ono ne uzima u obzir:

x=π2+kπx=\frac {\pi} 2+k\pi
DODATNO OBJAŠNJENJE

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti