Podeli

447.
Trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

2+\cos{4x}=2\sin^2x

REŠENJE ZADATKA

Zameniti 2 sa $1+1$ i prebaciti 1 na drugu stranu znaka jednakosti:

1+\cos{4x}=2\sin^2x-1

DODATNO OBJAŠNJENJE

1+1+\cos{4x}=2\sin^2x

Izvući minus ispred zagrade:

1+\cos{4x}=-(1-2\sin^2x)

Iz osnovne relacije: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$

1+\cos{4x}=-(\cos^2x-\sin^2x)

DODATNO OBJAŠNJENJE

1+\cos{4x}=-(\sin^2x+\cos^2x-2\sin^2x)

Primeniti formulu za kosinus dvostrukog ugla: $\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}$

1+\cos{4x}=-\cos{2x}

Prebaciti nepoznate na jednu stranu znaka jednakosti:

\cos{4x}+\cos{2x}=-1

Primeniti formulu za transformaciju zbira i razlike u proizvod: $\cos{\alpha}+\cos{\beta}=2\cos{\frac {\alpha+\beta} 2}\cos{\frac {\alpha-\beta} 2}$

2\cos{3x}\cos{x} =-1

DODATNO OBJAŠNJENJE

2\cos{\frac {4x+2x} 2}\cos{\frac {4x-2x} 2} =-1

Preobraziti sabirak kako bi se mogla primeniti formula za kosinus zbira dva ugla:

2\cos{(2x+x)}\cos{x} =-1

Primeniti formulu za kosinus zbira dva ugla: $\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}$

2(\cos2x\cos{x}-\sin2x\sin{x})\cos{x} =-1

Primeniti formulu za kosinus dvostrukog ugla: $\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}$

((\cos^2x-\sin^2x)\cos{x}-\sin2x\sin{x})\cos{x} =-1

Primeniti formulu za sinus dvostrukog ugla: $\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$

2((\cos^2x-\sin^2x)\cos{x}-2\sin^2{x}\cos{x})\cos{x} =-1

DODATNO OBJAŠNJENJE

2((\cos^2x-\sin^2x)\cos{x}-2\sin{x}\cos{x}\sin{x})\cos{x} =-1

Izvući zajedničke činioce ispred zagrade:

2(\cos^2x-3\sin^2{x})\cos^2{x} =-1

DODATNO OBJAŠNJENJE

2(\cos{x}(\cos^2x-\sin^2x-2\sin^2{x}))\cos{x} =-1

Iz osnovne relacije: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1,$ izraziti: $\sin^2\alpha =1-\cos^2\alpha$ i zameniti u jednakost:

2(4\cos^2x-3)\cos^2{x} =-1

DODATNO OBJAŠNJENJE

2(\cos^2x-3(1-\cos^2{x}))\cos^2{x} =-1

2(\cos^2x-3+3\cos^2{x})\cos^2{x} =-1

Osloboditi se zagrade množenjem:

8\cos^4x-6\cos^2{x} =-1

Prebaciti sve sabirke na jednu stranu znaka jednakosti:

8\cos^4x-6\cos^2{x}+1=0

Uvesti smenu:

\cos^2x=t

Uvrstiti smenu u izraz:

8t^2-6t+1=0

Rešavanjem kvadratne jednačine dobijaju se dva rešenja:

t_1=\frac 1 4 \quad\lor\quad t_2=\frac 1 2

DODATNO OBJAŠNJENJE

t_{1,2}=\frac {6 \pm \sqrt{36-32}} {16}

t_{1,2}=\frac {6\pm2} {16}

Zameniti smenu početnim izrazom:

\cos^2x=\frac 1 4 \quad\lor\quad\cos^2x=\frac 1 2

Rešavanjem prve jednačine dobijaju se dva rešenja:

x=\frac {\pi} 3+k\pi \lor x=\frac {2\pi} 3+k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\cos{x}=\frac 1 2\quad \lor \quad\cos{x}=-\frac 1 2

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=\frac {\pi} 4+\frac {k\pi} 2, \quad k\in \mathbb{Z}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\cos{x}=\frac 1 {\sqrt2}

\cos{x}=\frac {\sqrt2} 2

Konačno rešenje:

x\in \{\frac {\pi} 3+k\pi, \frac {2\pi} 3+k\pi, \frac {\pi} 4+\frac {k\pi} 2\}, \quad k\in \mathbb{Z}

447.Trigonometrijska jednačina