Jednačina sa kosinusima 4x, 2x i kvadratom kosinusa x

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

2\cos4x-2\cos2x=4\cos^2x-1

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za sinus dvostrukog ugla: $\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$

2(\cos^22x-\sin^22x)-2\cos2x=4\cos^2x-1

Primeniti formule za kosinus poluugla: $|\cos{\frac {\alpha} 2} |=\sqrt{\frac {1+\cos{\alpha}} 2}$

2(\cos^22x-\sin^22x)-2\cos2x=2(1+\cos2x)-1

Osloboditi se zagrada množenjem:

2\cos^22x-2\sin^22x-2\cos2x=2+2\cos2x-1

Iz osnovne relacije: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1,$ izraziti: $\sin^2\alpha =1-\cos^2\alpha$ i zameniti u jednakost:

2\cos^22x-2(1-\cos^22x)-2\cos2x=2+2\cos2x-1

Osloboditi se zagrade množenjem:

2\cos^22x-2+2\cos^22x-2\cos2x=2+2\cos2x-1

Prebaciti sve sabirke na jednu stranu znaka jednakosti:

4\cos^22x-4\cos2x-3=0

Uvesti smenu:

\cos2x=t

Uvrstiti smenu u izraz:

4t^2-4t-3=0

Rešavanjem kvadratne jednačine dobijaju se dva rešenja:

t_1=-\frac 12 \quad\lor\quad t_2=\frac 3 2

Zameniti smenu početnim izrazom:

\cos2x=-\frac 12 \quad\lor\quad \cos2x=\frac 3 2

Rešavanjem prve jednačine dobija se konačno rešenje:

x=\pm\frac {\pi} 3+k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

Rešavanjem druge jednačine ne dobija se rešenje, jer je kosinusna funkcija definisana jedino u skupu [-1,1]:

\cos2x=\frac 3 2

69. Trigonometrijske jednačine