477.

Trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

3sin⁡(π2−x)−4sin⁡(π+x)sin⁡(5π2+x)+8cos⁡2x2=43\sin(\frac {\pi} 2-x)-4\sin(\pi+x)\sin(\frac {5\pi} 2+x)+8\cos^2\frac x2=4
REŠENJE ZADATKA

Svesti trigonometrijske funkcije na oštar ugao:

3cos⁡x+4sin⁡xcos⁡x+8cos⁡2x2=43\cos{x}+4\sin{x}\cos{x}+8\cos^2\frac x2=4

Primeniti formulu za kosinus poluugla:∣cos⁡α2∣=1+cos⁡α2 |\cos{\frac {\alpha} 2} |=\sqrt{\frac {1+\cos{\alpha}} 2}

3cos⁡x+4sin⁡xcos⁡x+4(1+cos⁡x)=43\cos{x}+4\sin{x}\cos{x}+4(1+\cos{x})=4
DODATNO OBJAŠNJENJE

Osloboditi se zagrade množenjem:

3cos⁡x+4sin⁡xcos⁡x+4+4cos⁡x=43\cos{x}+4\sin{x}\cos{x}+4+4\cos{x}=4

Prebaciti sve sabirke na jednu stranu znaka jednakosti:

7cos⁡x+4sin⁡xcos⁡x=07\cos{x}+4\sin{x}\cos{x}=0
DODATNO OBJAŠNJENJE

Izvući zajednički činilac ispred zagrade:

cos⁡x(7+4sin⁡x)=0\cos{x}(7+4\sin{x})=0

Jednačina ima dva rešenja:

cos⁡x=0∨7+4sin⁡x=0\cos{x}=0 \quad\lor\quad 7+4\sin{x}=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se konačno rešenje:

x=π2+kπ,k∈Zx=\frac {\pi}2 +k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

Rešavanjem druge jednačine ne dobija se rešenje, jer je sinusna funkcija definisana jedino u skupu [-1,1]:

sin⁡x=−74\sin{x}=-\frac 74

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti