Podeli

456.
Trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\cos{x}=\cos3x+2\sin2x

REŠENJE ZADATKA

Prebaciti sabirak na drugu stranu znaka jednakosti:

\cos{x}-\cos3x=2\sin2x

Primeniti formulu za transformaciju zbira i razlike u proizvod: $\cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin{\frac {\alpha+\beta} 2}\sin{\frac {\alpha-\beta} 2}$

2\sin2x\sin{x}=2\sin2x

DODATNO OBJAŠNJENJE

-2\sin\frac {x+3x} 2\sin\frac {x-3x} 2=2\sin2x

-2\sin\frac {4x} 2\sin\frac {-2x} 2=2\sin2x

Prebaciti sve članove sa nepoznatom na jednu stranu znaka jednakosti:

2\sin2x\sin{x}-2\sin2x=0

Izvući zajedničke činioce ispred zagrade:

2\sin2x(\sin{x}-1)=0

Jednačina ima dva rešenja:

\sin2x=0 \quad \lor \quad \sin{x}-1=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=\frac {k\pi} 2, \quad k\in \mathbb{Z}

DODATNO OBJAŠNJENJE

2x=k\pi

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=\frac {\pi} 2+2k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

Kombinovanjem rešenja iz oba slučaja dobija se konačno rešenje:

x\in\{\frac {\pi} 2+2k\pi, \frac {k\pi} 2\}, \quad k\in \mathbb{Z}

456.Trigonometrijska jednačina