Podeli

455.
Trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\sin{x}-\sin2x+\sin3x-\sin4x=0

REŠENJE ZADATKA

Grupisati sabirke:

(\sin{x}+\sin3x)-(\sin2x+\sin4x)=0

Primeniti formulu za transformaciju zbira i razlike u proizvod: $\sin{\alpha}+\sin{\beta}=2\sin{\frac {\alpha+\beta} 2}\cos{\frac {\alpha-\beta} 2}$

2\sin2x\cos{x} -2\sin3x\cos{x}=0

DODATNO OBJAŠNJENJE

(\sin{x}+\sin3x) = 2\sin\frac {x+3x} 2\cos\frac{x-3x} 2-2\sin\frac {2x+4x} 2\cos\frac {2x-4x} 2=0

(\sin{x}+\sin3x) = 2\sin\frac {4x} 2\cos\frac{-2x} 2-2\sin\frac {6x} 2\cos\frac {-2x} 2=0

Izvući zajedničke činioce ispred zagrade:

2\cos{x}(\sin2x -\sin3x)=0

Jednačina ima dva rešenja:

\cos{x}=0 \quad \lor \quad \sin2x -\sin3x=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=\frac {\pi} 2+k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

Rešavanjem druge jednačine dobijaju se dva rešenja:

x=\frac {\pi} 5+\frac 2 5k\pi \lor x=2k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

DODATNO OBJAŠNJENJE

Primeniti formulu za transformaciju zbira i razlike u proizvod: $\sin{\alpha}-\sin{\beta}=2\cos{\frac {\alpha+\beta} 2}\sin{\frac {\alpha-\beta} 2}$

2\cos\frac {2x+3x} 2\sin\frac {2x-3x} 2=0

-2\cos\frac {5x} 2\sin\frac x2=0

Jednačina ima dva rešenja:

\cos\frac {5x} 2=0 \lor \sin\frac x2=0

Rešenje prve jednačine dobija se na sledeći način:

\frac {5x} 2=\frac {\pi} 2+k\pi

5x=\pi +2k\pi

x=\frac {\pi} 5 +\frac 2 5k\pi

Rešenje druge jednačine dobija se na sledeći način:

\frac x 2=k\pi

x=2k\pi

Kombinovanjem rešenja iz oba slučaja dobija se konačno rešenje:

x\in\{\frac {\pi} 5+\frac 2 5k\pi, \frac {\pi} 2+k\pi,2k\pi\}, \quad k\in \mathbb{Z}

455.Trigonometrijska jednačina