454.

50. Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

sin⁡(π3+x)−sin⁡x=12\sin(\frac {\pi} 3+x)-\sin{x}=\frac 12
REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za transformaciju zbira i razlike u proizvod: sin⁡α−sin⁡β=2cos⁡α+β2sin⁡α−β2 \sin{\alpha}-\sin{\beta}=2\cos{\frac {\alpha+\beta} 2}\sin{\frac {\alpha-\beta} 2}

2cos⁡π3+2x2sin⁡π6=122\cos{\frac {{\frac {\pi} 3}+2x} 2}\sin{\frac {\pi} 6}=\frac 1 2
DODATNO OBJAŠNJENJE

Uvrstiti vrednosti trigonometrijskih funkcija:

cos⁡π3+2x2=12\cos{\frac {{\frac {\pi} 3}+2x} 2}=\frac 1 2
DODATNO OBJAŠNJENJE

Upotrebiti matematičku kružnicu:

π3+2x2=π3∨π3+2x2=−π3\frac {{\frac {\pi} 3}+2x} 2=\frac {\pi} 3 \quad \lor \quad \frac {{\frac {\pi} 3}+2x} 2=-\frac {\pi} 3

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=π6+2kπ,k∈Zx=\frac{\pi} 6+2k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}
DODATNO OBJAŠNJENJE

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=−π2+2kπ,k∈Zx=-\frac {\pi} 2+2k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}
DODATNO OBJAŠNJENJE

Kombinovanjem rešenja iz oba slučaja dobija se konačno rešenje:

x∈{−π2+2kπ,π6+2kπ},k∈Zx\in\{-\frac {\pi} 2+2k\pi, \frac{\pi} 6+2k\pi\}, \quad k\in \mathbb{Z}