453.

Trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

sin⁡x=cos⁡2x\sin{x}=\cos2x
REŠENJE ZADATKA

Prebaciti nepoznate na jednu stranu znaka jednakosti:

sin⁡x−cos⁡2x=0\sin{x}-\cos2x=0

Pretvoriti sinus u kosinus:

cos⁡(π2−x)−cos⁡2x=0\cos{(\frac {\pi} 2-x)}-\cos2x=0

Primeniti formulu za transformaciju zbira i razlike u proizvod: cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2 \cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin{\frac {\alpha+\beta} 2}\sin{\frac {\alpha-\beta} 2}

−2sin⁡π2+x2sin⁡π2−3x2=0-2\sin{\frac {{\frac {\pi} 2}+x} 2}\sin{\frac {{\frac {\pi} 2}-3x} 2}=0
DODATNO OBJAŠNJENJE

Jednačina ima dva rešenja:

sin⁡π2+x2=0∨sin⁡π2−3x2=0\sin{\frac {{\frac {\pi} 2}+x} 2}=0 \quad \lor \quad \sin{\frac {{\frac {\pi} 2}-3x} 2}=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=−π2+2kπ,k∈Zx=-\frac {\pi} 2+2k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}
DODATNO OBJAŠNJENJE

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=π6+23kπ,k∈Zx=\frac {\pi} 6+\frac 2 3k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}
DODATNO OBJAŠNJENJE

Kombinovanjem rešenja iz oba slučaja dobija se konačno rešenje:

x=π6+23kπ,k∈Zx=\frac {\pi} 6+\frac 2 3k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti