452.

Trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

cos⁡xcos⁡3x=cos⁡5xcos⁡7x\cos{x}\cos3x=\cos5x\cos7x
REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za transformaciju proizvoda u zbir ili razliku: cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)) \cos{\alpha}\cos{\beta}=\frac 1 2(\cos{(\alpha+\beta)}+\cos{(\alpha-\beta)})

12(cos⁡4x+cos⁡2x)=12(cos⁡12x+cos⁡2x)\frac 1 2(\cos4x+\cos2x)=\frac 1 2(\cos12x+\cos2x)
DODATNO OBJAŠNJENJE

Skratiti zajedničke činioce:

cos⁡4x+cos⁡2x=cos⁡12x+cos⁡2x\cos4x+\cos2x=\cos12x+\cos2x
DODATNO OBJAŠNJENJE

Prebaciti sve sabirke na jednu stranu znaka jednakosti:

cos⁡4x−cos⁡12x=0\cos4x-\cos12x=0
DODATNO OBJAŠNJENJE

Primeniti formulu za transformaciju zbira i razlike u proizvod: cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2 \cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin{\frac {\alpha+\beta} 2}\sin{\frac {\alpha-\beta} 2}

−2sin⁡8xsin⁡4x=0-2\sin8x\sin4x=0
DODATNO OBJAŠNJENJE

Jednačina ima dva rešenja:

sin⁡8x=0∨sin⁡4x=0\sin8x=0 \quad \lor\quad\sin4x=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=kπ8,k∈Zx=\frac {k\pi} 8, \quad k\in \mathbb{Z}
DODATNO OBJAŠNJENJE

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=kπ4,k∈Zx=\frac {k\pi} 4,\quad k\in \mathbb{Z}
DODATNO OBJAŠNJENJE

Kombinovanjem rešenja iz oba slučaja dobija se konačno rešenje:

x=kπ8,k∈Zx=\frac {k\pi} 8, \quad k\in \mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti