457.

Trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

sin⁡x+sin⁡2x+sin⁡3x=0\sin{x}+\sin2x+\sin3x=0
REŠENJE ZADATKA

Grupisati sabirke na sledeći način:

(sin⁡x+sin⁡3x)+sin⁡2x=0(\sin{x}+\sin3x)+\sin2x=0

Primeniti formulu za transformaciju zbira i razlike u proizvod: sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2 \sin{\alpha}+\sin{\beta}=2\sin{\frac {\alpha+\beta} 2}\cos{\frac {\alpha-\beta} 2}

2sin⁡2xcos⁡x+sin⁡2x=02\sin2x\cos{x}+\sin2x=0
DODATNO OBJAŠNJENJE

Izvući zajednički činilac ispred zagrade:

sin⁡2x(2cos⁡x+1)=0\sin2x(2\cos{x}+1)=0

Jednačina ima dva rešenja:

sin⁡2x=0∨2cos⁡x+1=0\sin2x=0 \quad \lor \quad 2\cos{x}+1=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=kπ2,k∈Zx=\frac {k\pi} 2, \quad k\in \mathbb{Z}
DODATNO OBJAŠNJENJE

Rešavanjem druge jednačine dobijaju se dva rešenja:

x=π2+2kπ,k∈Zx=\frac {\pi} 2+2k\pi,\quad k\in \mathbb{Z}
DODATNO OBJAŠNJENJE

Kombinovanjem rešenja iz oba slučaja dobija se konačno rešenje:

x∈{π2+2kπ,kπ2},k∈Zx\in\{\frac {\pi} 2+2k\pi, \frac {k\pi} 2\}, \quad k\in \mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti