Podeli

458.
Trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\cos(\frac {\pi} 2+5x)+\sin{x}=2\cos3x

REŠENJE ZADATKA

Pretvoriti kosinus u sinus:

\sin{x}-\sin5x=2\cos3x

DODATNO OBJAŠNJENJE

\cos(\frac {\pi} 2+5x) = -\sin5x

Primeniti formulu za transformaciju zbira i razlike u proizvod: $\sin{\alpha}-\sin{\beta}=2\cos{\frac {\alpha+\beta} 2}\sin{\frac {\alpha-\beta} 2}$

-2\cos3x\sin2x=2\cos3x

DODATNO OBJAŠNJENJE

2\cos\frac{x+5x}2\sin\frac {x-5x}2=2\cos3x

2\cos\frac{6x}2\sin\frac {-4x}2=2\cos3x

Prebaciti sve sabirke na jednu stranu znaka jednakosti:

2\cos3x\sin2x+2\cos3x=0

Izvući zajedničke činioce ispred zagrade:

2\cos3x(\sin2x+1)=0

Jednačina ima dva rešenja:

\cos3x=0 \quad \lor \quad \sin2x+1=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=\frac {\pi} 6+\frac {k\pi} 3, \quad k\in \mathbb{Z}

DODATNO OBJAŠNJENJE

3x=\frac {\pi} 2+k\pi

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=-\frac {\pi} 4+k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\sin2x=-1

2x=-\frac {\pi} 2+2k\pi

Kombinovanjem rešenja iz oba slučaja dobija se konačno rešenje:

x\in\{-\frac {\pi} 4+k\pi, \frac {\pi} 6+\frac {k\pi} 3\}, \quad k\in \mathbb{Z}

458.Trigonometrijska jednačina