Podeli

459.
Trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\sin^22x+\sin^25x=1

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za sinus poluugla: $|\sin{\frac {\alpha} 2} |=\sqrt{\frac {1-\cos{\alpha}} 2}$

\frac {1-\cos4x}2+\frac {1-\cos10x} 2=1

DODATNO OBJAŠNJENJE

{\frac {1-\cos{\alpha}} 2} =\sin^2 {\frac {\alpha} 2 }

Pomnožiti ceo izraz sa 2:

2-\cos4x-\cos10x=2

DODATNO OBJAŠNJENJE

1-\cos4x+1-\cos10x=2

Prebaciti sve sabirke na jednu stranu znaka jednakosti:

\cos4x+\cos10x=0

DODATNO OBJAŠNJENJE

2-2+\cos4x+\cos10x=0

Primeniti formulu za transformaciju zbira i razlike u proizvod: $\cos{\alpha}+\cos{\beta}=2\cos{\frac {\alpha+\beta} 2}\cos{\frac {\alpha-\beta} 2}$

2\cos7x\cos3x=0

DODATNO OBJAŠNJENJE

2\cos\frac{4x+10x}2\cos\frac{4x-10x}2=0

Jednačina ima dva rešenja:

\cos7x=0 \quad \lor \quad\cos3x=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=\frac {\pi} {14}+\frac {k\pi} 7, \quad k\in \mathbb{Z}

DODATNO OBJAŠNJENJE

7x=\frac {\pi} 2+k\pi

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=\frac {\pi} 6+\frac {k\pi} 3, \quad k\in \mathbb{Z}

DODATNO OBJAŠNJENJE

3x=\frac {\pi} 2+k\pi

Kombinovanjem rešenja iz oba slučaja dobija se konačno rešenje:

x\in\{\frac {\pi} {14}+\frac {k\pi} 7,\frac {\pi} 6+\frac {k\pi} 3\}, \quad k\in \mathbb{Z}

459.Trigonometrijska jednačina