Podeli

460.
Trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\cos4x+2\cos^2x=1

REŠENJE ZADATKA

Prebaciti sve sabirke na jednu stranu znaka jednakosti:

\cos4x+2\cos^2x-1=0

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$

\cos4x+\cos^2x-\sin^2x=0

DODATNO OBJAŠNJENJE

\cos4x+2\cos^2x-\sin^2x-\cos^2x=0

Primeniti formulu za kosinus dvostrukog ugla: $\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}$

\cos4x+\cos2x=0

Primeniti formulu za transformaciju zbira i razlike u proizvod: $\cos{\alpha}+\cos{\beta}=2\cos{\frac {\alpha+\beta} 2}\cos{\frac {\alpha-\beta} 2}$

2\cos3x\cos{x}=0

DODATNO OBJAŠNJENJE

2\cos\frac{4x+2x}2\cos\frac {4x-2x}2=0

Jednačina ima dva rešenja:

\cos3x=0 \quad \lor \quad\cos{x}=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=\frac {\pi} 6+\frac {k\pi} 3, \quad k\in \mathbb{Z}

DODATNO OBJAŠNJENJE

3x=\frac {\pi} 2+k\pi

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=\frac {\pi} 2+k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

Kombinovanjem rešenja iz oba slučaja dobija se konačno rešenje:

x\in\{\frac {\pi} 6+\frac {k\pi} 3,\frac {\pi} 2+k\pi\}, \quad k\in \mathbb{Z}

460.Trigonometrijska jednačina