Podeli

461.
Trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\cos2x+\cos8x-\cos6x=1, x\in[0,\frac {\pi}2]

REŠENJE ZADATKA

Prebaciti $\cos6x$ na drugu stranu znaka jednakosti:

\cos2x+\cos8x=1+\cos6x

Primeniti formulu za transformaciju zbira i razlike u proizvod: $\cos{\alpha}+\cos{\beta}=2\cos{\frac {\alpha+\beta} 2}\cos{\frac {\alpha-\beta} 2}$

2\cos5x\cos3x=1+\cos6x

DODATNO OBJAŠNJENJE

2\cos\frac {2x+8x}2\cos\frac {2x-8x}2=1+\cos6x

Podeliti ceo izraz sa 2:

\cos5x\cos3x=\frac {1+\cos6x} 2

Primeniti formulu za kosinus poluugla: $|\cos{\frac {\alpha} 2} |=\sqrt{\frac {1+\cos{\alpha}} 2}$

\cos5x\cos3x=\cos^23x

DODATNO OBJAŠNJENJE

\frac {1+\cos{\alpha}} 2=\cos^2{\frac {\alpha} 2}

Prebaciti sve sabirke na jednu stranu znaka jednakosti:

\cos5x\cos3x-\cos^23x=0

Izvući zajednički činilac ispred zagrade:

\cos3x(\cos5x-\cos3x)=0

Jednačina ima dva rešenja:

\cos3x=0\quad \lor \quad\cos5x-\cos3x=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=\frac {\pi} 6+\frac {k\pi} 3

DODATNO OBJAŠNJENJE

3x=\frac {\pi} 2+k\pi

Pošto $x \in \lbrack0, \frac{\pi} 2 \rbrack,$ uzimaju se vrednosti za $k=0,1,$ što daje rešenja:

x=\frac {\pi} 6, \frac {\pi} 2

Rešavanjem druge jednačine dobijaju se dva rešenja, čijim presekom se dobija:

x=\frac {k\pi} 4

DODATNO OBJAŠNJENJE

Primeniti formulu za transformaciju zbira i razlike u proizvod: $\cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin{\frac {\alpha+\beta} 2}\sin{\frac {\alpha-\beta} 2}$

-2\sin\frac{5x+3x}2\sin\frac {5x-3x}2=0

-2\sin4x\sin{x}=0

Jednačina ima dva rešenja:

\sin4x=0\quad \lor\quad\sin{x}=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=\frac {k\pi} 4

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=k\pi

Pošto $x \in \lbrack0, \frac{\pi} 2 \rbrack,$ uzimaju se vrednosti za $k=0,1,$ što daje rešenja:

x=0, \frac {\pi} 4

Kombinovanjem rešenja iz oba slučaja dobija se konačno rešenje:

x\in\{0,\frac {\pi} 6, \frac {\pi} 4, \frac {\pi} 2\}

461.Trigonometrijska jednačina