462.

Trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

1−2sin⁡28x=sin⁡4x1-2\sin^28x=\sin4x
REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za sinus poluugla: ∣sin⁡α2∣=1−cos⁡α2 |\sin{\frac {\alpha} 2} |=\sqrt{\frac {1-\cos{\alpha}} 2}

1−1+cos⁡16x=sin⁡4x1-1+\cos16x=\sin4x
DODATNO OBJAŠNJENJE

Prebaciti sve sabirke na jednu stranu znaka jednakosti:

cos⁡16x−sin⁡4x=0\cos16x-\sin4x=0

Pretvoriti sinus u kosinus:

cos⁡16x−cos⁡(π2−4x)=0\cos16x-\cos(\frac {\pi} 2-4x)=0

Primeniti formulu za transformaciju zbira i razlike u proizvod: cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2 \cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin{\frac {\alpha+\beta} 2}\sin{\frac {\alpha-\beta} 2}

−2sin⁡12x+π22sin⁡20x−π22=0-2\sin\frac {12x+\frac {\pi} 2}2\sin\frac {20x-\frac {\pi} 2}2=0
DODATNO OBJAŠNJENJE

Jednačina ima dva rešenja:

sin⁡12x+π22=0∨sin⁡20x−π22=0\sin\frac {12x+\frac {\pi} 2}2=0 \quad \lor\quad\sin\frac {20x-\frac {\pi} 2}2=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=−π24+kπ6,k∈Zx=-\frac {\pi} {24}+\frac {k\pi} 6,\quad k\in \mathbb{Z}
DODATNO OBJAŠNJENJE

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=π40+kπ10,k∈Zx=\frac {\pi} {40}+\frac {k\pi} {10}, \quad k\in \mathbb{Z}
DODATNO OBJAŠNJENJE

Kombinovanjem rešenja iz oba slučaja dobija se konačno rešenje:

x∈{−π24+kπ6,π40+kπ10},k∈Zx\in\{-\frac {\pi} {24}+\frac {k\pi} 6,\frac {\pi} {40}+\frac {k\pi} {10}\},\quad k\in \mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti